Funksjonsanalyse

[DennisChristensen]

Jeg lurer på om noen kan bidra med litt hjelp på følgende oppgave:

"Let $X$ be the real vector space consisting of all continuous functions $f: [0,1] \rightarrow \mathbb{R}$ such that $f(0) = 0, f$ is differentiable almost everywhere, $f' \in L^2(0,1)$ and $$f(t) = \int_0^t f'(s) ds \text{ }\text{ }\text{ }\text{ }(t\in[0,1]).$$

Consider $X$ with the inner product defined by $$\langle f,g \rangle_X = \int_0^1\left(f(t)g(t) + f'(t)g'(t)\right) dt.$$

[You may assume that $X$ is a Hilbert space.]

For $t \in [0,1],$ a linear functional $\phi_t: X \rightarrow \mathbb{R}$ is defined by $\phi_t(f) = f(t).$

(i) Show that $\phi_t$ is bounded and that $\lVert\phi_t\rVert_{X'} \leq t^{\frac12}.$"

Første del er jo grei. Vi vet fra $\left(f(s) - f'(s)\right)^2 \geq 0$ at $f(s)^2 + f'(s)^2 \geq 2f(s)f'(s).$ Integrerer vi dette får vi at $$f(t)^2 = f(t)^2 - f(0)^2 \leq \int_0^t\left(f(s)^2 + f'(s)^2\right) ds \leq \int_0^1\left(f(s)^2 + f'(s)^2\right) ds = \lVert f\rVert_X^2,$$ så $\phi_t$ er begrenset og $\lVert \phi_t\rVert \leq 1$. Jeg klarer riktignok ikke å vise den andre ulikheten. Har prøvd en del forskjellige triks, men står fast.

På forhånd takk for svar!

Edit: Liten skrivefeil

[sbra]

Hei!

Jeg holder for tiden på å lese boken Theory of linear operators in Hilbert space. Synes denne oppgaven virket relevant, så jeg har grublet litt på den. Merk at jeg er hobbymatematiker, selvlært i det lille jeg kan av høyere matematikk, så det hender ofte at jeg gjør elementære feil. Legg derfor ikke for mye vekt på det jeg skriver.

Er enig med deg om at første del virker grei. Det eneste jeg kan bemerke er at [tex]f(t)^2 \leq \int_0^1 (f(s)^2+f'(s)^2)\mathrm{d}s = \left < f,f \right >_X[/tex], og ikke [tex]\left \| f \right \|_X[/tex]. Det betyr jo at [tex]\phi_t(f) = f(t) \leq \sqrt{ \left < f,f \right >_X} = \left \| f \right \|_X[/tex], slik at [tex]\phi_t[/tex] er begrenset og [tex]\left \| \phi_t \right \|_X \leq 1[/tex].

Har grublet litt på den andre delen, men jeg tror jeg misforstår noe vesentlig.

Slik jeg har forstått definisjonen av normen til en lineær funksjonal så er [tex]\left \| \phi_t \right \|_{X'} = \underset{f' \in X', \left \| f' \right \|_{X'} \leqslant 1}{\sup} \left | \phi_t(f') \right | = \underset{f' \in X', \left \| f' \right \|_{X'} \leqslant 1}{\sup} \left | f'(t) \right | < \infty[/tex]

Hvis vi velger en konkret t, [tex]t=\frac{1}{2}[/tex], så forstår jeg det slik at oppgaven sier at [tex]\left \| \phi_{\frac{1}{2}} \right \|_{X'} \leqslant \frac{1}{\sqrt{2}}[/tex]. Det skal vel derfor ikke finnes elementer [tex]f' \in X'[/tex] med norm mindre eller lik 1 slik at [tex]f'(\frac{1}{2}) > \frac{1}{\sqrt{2}}[/tex].

La oss betrakte elementet [tex]f' = \sqrt{2}t^{\frac{1}{2}}[/tex]. Dette elementet har norm [tex]\left \| f' \right \|_{L^2(0,1)} = \int_0^1 (\sqrt{2}t^{\frac{1}{2}})^2\mathrm{d}t = 1[/tex], men [tex]f'(\frac{1}{2}) = \sqrt{2}\frac{1}{\sqrt{2}} = 1[/tex]. Dette er jo større enn [tex]\frac{1}{\sqrt{2}}[/tex], og strider derfor med oppgaven.

Hva er det jeg misforstår?

[Gjest]

du er hobby matematiker, kult

hva gjør du ellers da? studerer du eller jobber? Hva?

[DennisChristensen]

Hei!

Jeg holder for tiden på å lese boken Theory of linear operators in Hilbert space. Synes denne oppgaven virket relevant, så jeg har grublet litt på den. Merk at jeg er hobbymatematiker, selvlært i det lille jeg kan av høyere matematikk, så det hender ofte at jeg gjør elementære feil. Legg derfor ikke for mye vekt på det jeg skriver.

Er enig med deg om at første del virker grei. Det eneste jeg kan bemerke er at [tex]f(t)^2 \leq \int_0^1 (f(s)^2+f'(s)^2)\mathrm{d}s = \left < f,f \right >_X[/tex], og ikke [tex]\left \| f \right \|_X[/tex]. Det betyr jo at [tex]\phi_t(f) = f(t) \leq \sqrt{ \left < f,f \right >_X} = \left \| f \right \|_X[/tex], slik at [tex]\phi_t[/tex] er begrenset og [tex]\left \| \phi_t \right \|_X \leq 1[/tex].

Har grublet litt på den andre delen, men jeg tror jeg misforstår noe vesentlig.

Slik jeg har forstått definisjonen av normen til en lineær funksjonal så er [tex]\left \| \phi_t \right \|_{X'} = \underset{f' \in X', \left \| f \right \|_{X'} \leqslant 1}{\sup} \left | \phi_t(f') \right | = \underset{f' \in X', \left \| f \right \|_{X'} \leqslant 1}{\sup} \left | f'(t) \right | < \infty[/tex]

Hvis vi velger en konkret t, [tex]t=\frac{1}{2}[/tex], så forstår jeg det slik at oppgaven sier at [tex]\left \| \phi_{\frac{1}{2}} \right \|_{X'} \leqslant \frac{1}{\sqrt{2}}[/tex]. Det skal vel derfor ikke finnes elementer [tex]f' \in X'[/tex] med norm mindre eller lik 1 slik at [tex]f'(\frac{1}{2}) > \frac{1}{\sqrt{2}}[/tex].

La oss betrakte elementet [tex]f' = \sqrt{2}t^{\frac{1}{2}}[/tex]. Dette elementet har norm [tex]\left \| f' \right \|_{L^2(0,1)} = \int_0^1 (\sqrt{2}t^{\frac{1}{2}})^2\mathrm{d}t = 1[/tex], men [tex]f'(\frac{1}{2}) = \sqrt{2}\frac{1}{\sqrt{2}} = 1[/tex]. Dette er jo større enn [tex]\frac{1}{\sqrt{2}}[/tex], og strider derfor med oppgaven.

Hva er det jeg misforstår?

(i) Definisjonen din av $\lVert\phi_t\rVert_{X'}$ er feil. Det skal være $\lVert\phi_t\rVert_{X'} = \sup\{|f(t)|\text{ } :\text{ } f \in X, \lVert f\rVert_X \leq 1 \}$. Pass på ikke å blande elementer i $X$ og i $X'$.

(ii) Funksjonen $g(s) = \sqrt{2s}$ er ikke et element i $X$, ettersom dens deriverte $g'(s) = \frac{\sqrt{2}}{2}s^{-\frac12} \notin L^2(0,1)$.

(iii) Om du uansett ønsket å undersøke et element i $X$ må du bruke den gitte normen $\lVert \cdot \rVert_X$, ikke $L^2$-normen.

[Gustav]

Har prøvd en del forskjellige triks, men står fast.

Hva har du prøvd på da?

[DennisChristensen]

Har prøvd en del forskjellige triks, men står fast.

Hva har du prøvd på da?

Tror jeg fant det ut! For alle $f \in X$ og $t \in [0,1]$ har vi at $$\begin{align*} t\int_0^1 \left(f(s)^2 + f'(s)^2\right) ds - f(t)^2 & = t\int_0^1\left(f(s)^2 + f'(s)^2\right) ds - \int_0^t 2f(s)f'(s) ds \\
& \geq t\int_0^t \left(f(s)^2 + f'(s)^2 - 2f(s)f'(s)\right)ds \\
& = t\int_0^t \left( f(s) - f'(s)\right)^2 ds \\
& \geq 0,\end{align*},$$ så $|\phi_t(f)| \leq t^{\frac12}\lVert f\rVert_X$ for alle $f \in X,$ hvilket viser at $\lVert \phi_t\rVert_{X'} \leq t^{\frac12}$.

[sbra]

du er hobby matematiker, kult

hva gjør du ellers da? studerer du eller jobber? Hva?

Ja, kan vel vel kanskje kalle meg det, siden jeg er interessert i matematikk uten å studere det eller bruke det aktivt i jobbsammenheng. Jobber til vanlig innen IT.

Takk for svar, Dennis!

(i) Siden funksjonalnormen er skrevet som [tex]\left \| \phi_t \right \|_{X'}[/tex], med [tex]X'[/tex] som subscript, så antok jeg at det var snakk om elementer [tex]f' \in X' \subset L^2(0,1)[/tex]. Siden det i oppgaven eksplisitt stod at elementene [tex]f'[/tex] tilhører [tex]L^2(0,1)[/tex], så tenkte jeg kanskje at det var standard-normen i dette vektorrommet vi skulle bruke.

Jeg har forresten endret på forrige innlegg da jeg egentlig mente [tex]\left \| f' \right \|_{X'} \leq 1[/tex], og ikke [tex]\left \| f \right \|_{X'} \leq 1[/tex].

Jeg leser oppgaven som at settet [tex]X'[/tex] inneholder de deriverte av alle elementene i [tex]X[/tex], dvs. [tex]X' = \{f' : f \in X\}[/tex]
Synes det virker rart å bruke [tex]X'[/tex] som subscript for funksjonalnormen hvis du skal evaluere elementer [tex]f[/tex] med hensyn til den oppgittte normen i [tex]X[/tex], men det er kanskje bare meg

(ii) Her mente jeg [tex]\sqrt{2s}[/tex] som element i [tex]X' \subset L^2(0,1)[/tex], ikke [tex]X[/tex].

(iii) Jeg mente å undersøke elementer i [tex]X'[/tex], ikke [tex]X[/tex], og siden [tex]X' \subset L^2(0,1)[/tex], så synes jeg ikke der var urimelig å tenke at det var [tex]L^2[/tex]-normen vi skulle bruke.

[Gustav]

Har prøvd en del forskjellige triks, men står fast.

Hva har du prøvd på da?

Tror jeg fant det ut! For alle $f \in X$ og $t \in [0,1]$ har vi at $$\begin{align*} t\int_0^1 \left(f(s)^2 + f'(s)^2\right) ds - f(t)^2 & = t\int_0^1\left(f(s)^2 + f'(s)^2\right) ds - \int_0^t 2f(s)f'(s) ds \\
& \geq t\int_0^t \left(f(s)^2 + f'(s)^2 - 2f(s)f'(s)\right)ds \\
& = t\int_0^t \left( f(s) - f'(s)\right)^2 ds \\
& \geq 0,\end{align*},$$ så $|\phi_t(f)| \leq t^{\frac12}\lVert f\rVert_X$ for alle $f \in X,$ hvilket viser at $\lVert \phi_t\rVert_{X'} \leq t^{\frac12}$.

Siden $\int_0^t 2f(s)f'(s)ds$ er ikkenegativ, så vil vel ikke den første ulikheten nødvendigvis gjelde? Vi vil jo ha at $-\int_0^t 2f(s)f'(s)ds\leq -t\int_0^t 2f(s)f'(s)ds$

[sbra]

.

[DennisChristensen]

Siden $\int_0^t 2f(s)f'(s)ds$ er ikkenegativ, så vil vel ikke den første ulikheten nødvendigvis gjelde? Vi vil jo ha at $-\int_0^t 2f(s)f'(s)ds\leq -t\int_0^t 2f(s)f'(s)ds$

Herregud, ja, selvsagt fungerer ikke det. Lett å tøyse det til når man har jobbet med en oppgave lenge. Har du noe forslag til løsning?

[Gustav]

$|f(t)|^2=|\int_0^t f'(s)\,ds|^2=|\int_0^1 f'(s)\cdot \chi_{[0,t]}\,ds|^2\leq \\ \int_0^1 |f'(s)|^2\,ds \int_0^1 |\chi_{[0,t]}|^2\,ds=t\cdot \int_0^1 f'(s)^2\,ds\leq t\cdot \int_0^1 f(s)^2+f'(s)^2\,ds=t||f||^2_X$, der den første ulikheten er Cauchy-Schwarz.

[

Jeg leser oppgaven som at settet [tex]X'[/tex] inneholder de deriverte av alle elementene i [tex]X[/tex], dvs. [tex]X' = \{f' : f \in X\}[/tex]
Synes det virker rart å bruke [tex]X'[/tex] som subscript for funksjonalnormen hvis du skal evaluere elementer [tex]f[/tex] med hensyn til den oppgittte normen i [tex]X[/tex], men det er kanskje bare meg

$X'$ brukes gjerne om det duale rommet av lineære funksjonaler på $X$. Dermed blir det naturlig å skrive $||\phi_t ||_{X'}$ om den induserte normen i det duale rommet hvor funksjonalen $\phi_t$ befinner seg.

Vi har egentlig 3 ulike normer å forholde oss til her: normen indusert av det gitte indreproduktet i X, den euklidske normen i $\mathbb{R}$, som er vanlig absoluttverdi, samt operatornormen, som er bestemt utfra normene i $X$ og $\mathbb{R}$.

[DennisChristensen]

$|f(t)|^2=|\int_0^t f'(s)\,ds|^2=|\int_0^1 f'(s)\cdot \chi_{[0,t]}\,ds|^2\leq \int_0^1 |f'(s)|^2\,ds \int_0^1 |\chi_{[0,t]}|^2\,ds=t\cdot \int_0^1 f'(s)^2\,ds\leq t\cdot \int_0^1 f(s)^2+f'(s)^2\,ds=t||f||^2_X$, der den første ulikheten er Cauchy-Schwarz.

Ah, så Cauchy-Schwarz skulle anvendes med $L^2$-normen, ikke $X$-normen. Takk skal du ha!

[sbra]

$X'$ brukes gjerne om det duale rommet av lineære funksjonaler på $X$. Dermed blir det naturlig å skrive $||\phi_t ||_{X'}$ om den induserte normen i det duale rommet hvor funksjonalen $\phi_t$ befinner seg.

Aha! Da faller ting på plass. Tusen takk skal du ha. Er det ikke mer vanlig å bruke $X^*$ om det duale rommet?

Viser viktigheten av å forstå notasjonen. Det er forbausende hvor ofte det finnes flere forskjellige notasjoner for en og samme ting

[Gustav]

Er det ikke mer vanlig å bruke $X^*$ om det duale rommet?

Det brukes ofte også ja