Tallteori
Moderators: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Viss eg ser dette rett, så mener eg å ha funnet noen heltalls-tripler for a,b og c.
Løsning 1: a = 2, b = 4, c = 15
Løsning 2: a = 2, b = 5, c = 9
Løsning 3: a = 2, b = 6, c = 7
Løsning 4: a = 3, b = 4, c = 5
Hvor mange det er i alt blir en interessant fortsettelse.
Løsning 1: a = 2, b = 4, c = 15
Løsning 2: a = 2, b = 5, c = 9
Løsning 3: a = 2, b = 6, c = 7
Løsning 4: a = 3, b = 4, c = 5
Hvor mange det er i alt blir en interessant fortsettelse.
Bra! Du har funnet alle unntatt én. Finner du den siste? (Og man kan selvsagt omrokkere på verdiene pga. symmetrien mellom a,b,c her)LAMBRIDA wrote:Viss eg ser dette rett, så mener eg å ha funnet noen heltalls-tripler for a,b og c.
Løsning 1: a = 2, b = 4, c = 15
Løsning 2: a = 2, b = 5, c = 9
Løsning 3: a = 2, b = 6, c = 7
Løsning 4: a = 3, b = 4, c = 5
Hvor mange det er i alt blir en interessant fortsettelse.
Her kommer en sketch av min løsning.
Vi slår parantesene sammen først:
\[\left(1+\frac{1}{a}\right)\left(1+\frac{1}{b}\right)\left(1+\frac{1}{c}\right)=\dfrac{(a+1)(b+1)(c+1)}{abc}\]
Det er mulig å vise at om $(a,b,c)$ er slik at $\dfrac{(a+1)(b+1)(c+1)}{abc}< 2$, vil også ulikheten gjelde for $(\bar{a},\bar{b},\bar{c})$, der $\bar{a}\geq a$ osv.. . Altså kan vi finne en viss øvre grense for hva $(a,b,c)$ kan være.
Deretter er kan man legge merke til at hvis vi setter $a=b=c=4$, så gjelder ulikheten over. Dette impliserer at en av tallene $a,b,c$ må være enten $1,2,3$. Herfra kan man bare sette inn et tall og gjøre casework for å se hva som fungerer og ikke fungerer.
EDIT: skulle ha streng ulikhet i stedet for større enn eller er lik på linje 4
Vi slår parantesene sammen først:
\[\left(1+\frac{1}{a}\right)\left(1+\frac{1}{b}\right)\left(1+\frac{1}{c}\right)=\dfrac{(a+1)(b+1)(c+1)}{abc}\]
Det er mulig å vise at om $(a,b,c)$ er slik at $\dfrac{(a+1)(b+1)(c+1)}{abc}< 2$, vil også ulikheten gjelde for $(\bar{a},\bar{b},\bar{c})$, der $\bar{a}\geq a$ osv.. . Altså kan vi finne en viss øvre grense for hva $(a,b,c)$ kan være.
Deretter er kan man legge merke til at hvis vi setter $a=b=c=4$, så gjelder ulikheten over. Dette impliserer at en av tallene $a,b,c$ må være enten $1,2,3$. Herfra kan man bare sette inn et tall og gjøre casework for å se hva som fungerer og ikke fungerer.
EDIT: skulle ha streng ulikhet i stedet for større enn eller er lik på linje 4
Last edited by mingjun on 07/04-2017 23:32, edited 2 times in total.
Flott! Løste den essensielt på samme vis: Vi skriver om til $(1+a)(1+b)(1+c)=(\sqrt[3]{2}a)(\sqrt[3]{2}b)(\sqrt[3]{2}c)$. Ser at $(1+n)<\sqrt[3]{2}n$ når $n>3$. Anta WLOG at $a\geq b\geq c$. Da gir ulikheten at $1\leq c\leq 3$.mingjun wrote:Her kommer en sketch av min løsning.
Vi slår parantesene sammen først:
\[\left(1+\frac{1}{a}\right)\left(1+\frac{1}{b}\right)\left(1+\frac{1}{c}\right)=\dfrac{(a+1)(b+1)(c+1)}{abc}\]
Det er mulig å vise at om $(a,b,c)$ er slik at $\dfrac{(a+1)(b+1)(c+1)}{abc}< 2$, vil også ulikheten gjelde for $(\bar{a},\bar{b},\bar{c})$, der $\bar{a}\geq a$ osv.. . Altså kan vi finne en viss øvre grense for hva $(a,b,c)$ kan være.
Deretter er kan man legge merke til at hvis vi setter $a=b=c=4$, så gjelder ulikheten over. Dette impliserer at en av tallene $a,b,c$ må være enten $1,2,3$. Herfra kan man bare sette inn et tall og gjøre casework for å se hva som fungerer og ikke fungerer.
EDIT: skulle ha streng ulikhet i stedet for større enn eller er lik på linje 4