Trigonometriske andregradslikninger

[Belaa]

oppgaven: 2sin^2x+sinx=0 x[tex]\epsilon[/tex][tex]\left [ 0,2\pi \right ][/tex]

Jeg gjør følgende: [tex]-(1)\frac{\pm \sqrt{(1)^2-4*2}}{2*2}[/tex]= [tex]-1\pm \frac{-7}{4}[/tex]

Sin x= 6/4 eller sin x= -8/4

6/4=1,5 x=3,14-1,5=1,64

-8/4=-2 x=3,14- (-2)=5,14

Jeg for jo da at x=1,5, x=1,64, x=-2 eller x=5,14

Men siden -2 ikke er mellom 0 og 2[tex]\pi[/tex] kan jeg da skrive at x=5,14?

[DennisChristensen]

oppgaven: 2sin^2x+sinx=0 x[tex]\epsilon[/tex][tex]\left [ 0,2\pi \right ][/tex]

Det er enklere å faktorisere direkte. $$2\sin^2 x + \sin x = 0$$ $$ \sin x\left(2\sin x + 1\right) = 0$$ $$\sin x = 0\text{ eller } 2\sin x + 1 = 0$$ $$\sin x = 0\text{ eller } \sin x = -\frac12.$$ Nå, $\sin x = 0$ gir løsningene $x = 0$, $x = \pi$ og $x = 2\pi$. $\sin x = -\frac12$ gir løsningene $x = \frac{7\pi}{6}$ og $x = \frac{11\pi}{6}$. Dermed får vi løsningene $$x \in \{0, \pi, \frac{7\pi}{6}, \frac{11\pi}{6}, 2\pi\}.$$

~~~~~~~~~~~~~~~~~

Om du allikevel ønsker å bruke $ABC$-formelen må du passe på å sette inn riktig ledd. Konstantleddet i likningen er $0$, så $ABC$-formelen gir $$\sin x = \frac{-1 \pm\sqrt{(-1)^2 - 4\cdot 2\cdot 0}}{2\cdot 2} = \frac{-1 \pm 1}{4},$$ så vi får at $\sin x = 0$ eller $\sin x = -\frac12$ som ovenfor.

[Belaa]

Ok, jeg sliter litt med faktoriseringen så tror jeg holder meg til abc formelen. Klarer ikke helt å skjønne hvordan du får [tex]\frac{7\pi }{6} og \frac{11\pi }{6}[/tex]?

Jeg skal finne de eksakte løsningene

[DennisChristensen]

Ok, jeg sliter litt med faktoriseringen så tror jeg holder meg til abc formelen. Klarer ikke helt å skjønne hvordan du får [tex]\frac{7\pi }{6} og \frac{11\pi }{6}[/tex]?

Jeg skal finne de eksakte løsningene

Vi vet at $\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac12$. Om vi så skal løse likningen $$\sin x = -\frac12,\text{ }\text{ , }x\in\left[0,2\pi\right]$$ ser vi på enhetssirkelen (vedlagte bilde) at vi får to løsninger: $$x = \pi + \frac{\pi}{6} = \frac{7\pi}{6}$$ og $$ 2\pi - \frac{\pi}{6} = \frac{11\pi}{6}.$$

[Belaa]

Det gikk opp et lys for meg når jeg så tegningen. Takk!