Lineær algebra, vektorfelt

[Gjest101]

Hei!

Sitter fast på en oppgave, oppgaven lyder som følger:
T

Det er litt krise med hjelp, for jeg skjønner det ikke og jeg rekker ikke innom øvingslærer før innlevering

[Pleb]

Jeg sliter med den samme oppgaven, kom du noe videre? hadde satt pris på svar

[danode]

Hei!

Kan du kontakte meg på PM? Sitter med samme oblig, og har noen spørsmål

[Guest]

Kom dere noe videre? Sliter med samme oblig

[gjest101]

Fortsatt ingen som har fått til denne?

[DennisChristensen]

Hei!

Sitter fast på en oppgave, oppgaven lyder som følger:
T

Det er litt krise med hjelp, for jeg skjønner det ikke og jeg rekker ikke innom øvingslærer før innlevering

(a)

Vi ønsker å vise at $\mathbf{F}$ er konservativt, altså at det finnes en funksjon $\phi:\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$ slik at $\nabla \phi = \mathbf{F}$.

Ettersom $f$ kun avhenger av verdien til $|\mathbf{x}|$, kan det være lurt å anta at $\phi$ vil gjøre det samme, altså at vi kan skrive $\phi$ som $\phi(\mathbf{x}) = g(|\mathbf{x}|)$.

Isåfall har vi, for $i = 1,\dots , n$, at
$$ \frac{\partial \phi}{\partial x_i} = \frac{\partial}{\partial x_i}g(|\mathbf{x}|) = g'(|\mathbf{x}|)\frac{\partial}{\partial x_i} \left(\sum_{i=1}^n x_i^2\right)^{\frac{1}{2}} = g'(|\mathbf{x}|)\cdot 2x_i\cdot\frac{1}{2}\left(\sum_{i=1}^n x_i^2\right)^{-\frac{1}{2}} = \frac{g'(|\mathbf{x}|)}{|\mathbf{x}|} x_i,$$

så $$\nabla \phi = \frac{g'(|\mathbf{x}|)}{|\mathbf{x}|}\mathbf{x}.$$

Vi kan nå vise at egenskapene til $f$ garanterer at en slik funksjon $g$ eksisterer og at $\nabla \phi = \frac{g'(|\mathbf{x}|)}{|\mathbf{x}|}\mathbf{x}$ er veldefinert.

Ettersom $f$ er kontinuerlig deriverbart er $f$ kontinuerlig, så vi vet ved integrasjon at det finnes en deriverbar funksjon $g: [0,\infty) \rightarrow \mathbb{R}$ slik at $g'(r) = rf(r)$. I tillegg vet vi at $f$ er kontinuerlig deriverbar og at $f'(r) \rightarrow 0$ når $r \rightarrow 0$, så $\lim_{r\rightarrow 0} f(r)$ er veldefinert.

$\therefore \lim_{r \rightarrow 0} g'(r) = \lim_{r\rightarrow 0} rf(r) = 0$, så $\nabla \phi = \frac{g'(|\mathbf{x}|)}{|\mathbf{x}|}\mathbf{x}$ er veldefinert for $\mathbf{x} = 0$. Det er dermed vist at $\mathbf{F}$ er konservativt.

(b)

$\displaystyle\begin{align*} \nabla \phi(\mathbf{x}) & = \nabla h(|\mathbf{x}|) \\
& = \sum_{i=1}^n \frac{\partial}{\partial x_i} h(|\mathbf{x}|) e_i\text{, }\text{ }\text{ }\text{ hvor }e_i\text{ er enhetsvektoren til koordinaten }x_i \\
& = \sum_{i=1}^n h'(|\mathbf{x}|)\frac{\partial}{\partial x_i}\left(\sum_{j=1}^n x_j^2\right)^{\frac{1}{2}} e_i \\
& = \sum_{i=1}^n |\mathbf{x}| f(|\mathbf{x}|)\text{ }2x_i\text{ }\frac{1}{2}\left(\sum_{j=1}^n x_j^2\right)^{-\frac{1}{2}} e_i \\
& = \sum_{i=1}^n |\mathbf{x}| f(|\mathbf{x}|)\frac{1}{|\mathbf{x}|}\text{ }x_i e_i \\
& = \sum_{i=1}^n f(|\mathbf{x}|) x_i e_i \\
& = f(|\mathbf{x}|)\mathbf{x} \\
& = \mathbf{F}(\mathbf{x}), \end{align*}$

hvilket skulle vises.

[Gustav]

I a) er det vel nok å vise at $\partial_i F_j - \partial_j F_i = 0$ for alle $1\leq i< j\leq n$ (som er komponentene til den ytrederiverte av vektorfeltets korresponderende 1-form (generaliseringen av curlen til n dimensjoner)). Dermed er feltet rotasjonsfritt (på et enkeltsammenhengende område) og derfor konservativt.

Vi har at $ F_j = f(|\vec{x}|)x_j$ så

$\partial_i F_j = \partial_j F_i = f'(|\vec{x}|)\frac{x_ix_j}{|\vec{x}|} $ og det følger at $\partial_i F_j - \partial_j F_i = 0$ for alle $\vec{x}\neq \vec{0}$.

Edit: Betingelsen $\lim_{r\to 0}f'(r)=0$ er såvidt jeg kan forstå nødvendig for å vise at feltet også er rotasjonsfritt i origo: Vi har at $|f'(|\vec{x}|)\frac{x_ix_j}{|\vec{x}|}|\leq f'(r)r$ så når $r\to 0 $ vil $f'(|\vec{x}|)\frac{x_ix_j}{|\vec{x}|}\to 0$, og feltet er rotasjonsfritt også i origo.