Lineær algebra - Enhetsnormalen

[Guest]

Hei,

Jeg sitter fast på en oppgave og klarer ikke å finne ut hva enhetsnormalen er. Så jeg lurer på om noen vet hva enhetsnormalen er, hvordan man finner denne generelt og med negativ andrekomponent til en kurve?

Selve oppgaven ser slik ut:

En disk med radius ρ ≤ 1/2 ruller på parabelen y = x^2. La senteret i disken ha koordinater (X, Y ).

a) Finn enhetsnormalen med negativ andrekomponent til kurven s(x) = (x, x^2). Nedenfor kaller
vi denne for n(x).

[DennisChristensen]

Hei,

Jeg sitter fast på en oppgave og klarer ikke å finne ut hva enhetsnormalen er. Så jeg lurer på om noen vet hva enhetsnormalen er, hvordan man finner denne generelt og med negativ andrekomponent til en kurve?

Selve oppgaven ser slik ut:

En disk med radius ρ ≤ 1/2 ruller på parabelen y = x^2. La senteret i disken ha koordinater (X, Y ).

a) Finn enhetsnormalen med negativ andrekomponent til kurven s(x) = (x, x^2). Nedenfor kaller
vi denne for n(x).

Enhetsnormalen er en vektor med lengde $1$ som står normal på en gitt kurve\flate. Om eksempelvis kurven vi jobber med er $x$-aksen, gitt ved $y=0$, så får vi enhetsnormalene $(0,1)$ og $(0,-1)$. Merk deg at vi kan velge om normalen skal peke "opp" eller "ned" (andre ganger "innover" eller "utover"), så vi må i dette tilfellet spesifisere fortegnet til andrekomponenten til normalen. Derfor er dette også gjort i oppgaven din.

Vi finner kurvens normalvektor:

Metode 1: En normalvektor vil alltid stå vinkelrett på tangentvektoren $\vec{t}$. Vi deriverer for å finne tangentvektoren:
$$\vec{t} = (1,2x).$$

Fra dette ser vi at $\lambda(2x,-1)$ vil være en normalvektor. for $\lambda \neq 0$, ettersom $(1,2x) \cdot \lambda (2x ,-1) = \lambda(2x - 2x) = 0$, så $\lambda(2x,-1)$ står normal på tangentvektoren vår $\vec{t}$. Vi ønsker negativ andrekomponent, så vi må velge $\lambda > 0.$ For å finne enhetsnormalen $\vec{n}$ normaliserer vi:

$$\vec{n} = \frac{1}{|\lambda(2x,-1)|}\lambda(2x,-1) = \frac{1}{\sqrt{4x^2 + 1}}(2x,-1)$$

Metode 2: (hvis du har lært om gradientvektoren ennå):

Kurven kan beskrives ved likningen
$$p(x,y) = y - x^2 = 0.$$

Vi vet at $\pm\nabla p$ står normal på kurven, så en normalvektor er gitt ved
$$\pm\nabla p = \pm(-2x,1).$$
Vi reskalerer nå denne normalen slik at vi får negativ andrekomponent og lengde $1$ liksom i metoden ovenfor.

[danode]

Hei gjest!

Hvordan kom du frem til svarene i oppgave 1? Regner med at du også jobber med oblig i mat1110?

[Guest]

Hei gjest!

Hvordan kom du frem til svarene i oppgave 1? Regner med at du også jobber med oblig i mat1110?

Hei:) det stemmer at jeg jobber med den obligen. Jeg holder på med oppgave 1 men står litt fast. Har fått tips om å løse 1a med likningssett for å finne 2x2 matrisen.

[tex]\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix}[/tex]

[tex]\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}[/tex]

Jeg har kommet frem til at dette blir [tex]\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}[/tex] , men tror ikke at dette er riktig.
B og c har jeg for øyeblikket ikke gjort. Håper dette er til hjelp, og si gjerne ifra om hva du skulle komme frem til i deloppgave a.

[Guest]

Hei,

Jeg sitter fast på en oppgave og klarer ikke å finne ut hva enhetsnormalen er. Så jeg lurer på om noen vet hva enhetsnormalen er, hvordan man finner denne generelt og med negativ andrekomponent til en kurve?

Selve oppgaven ser slik ut:

En disk med radius ρ ≤ 1/2 ruller på parabelen y = x^2. La senteret i disken ha koordinater (X, Y ).

a) Finn enhetsnormalen med negativ andrekomponent til kurven s(x) = (x, x^2). Nedenfor kaller
vi denne for n(x).

Enhetsnormalen er en vektor med lengde $1$ som står normal på en gitt kurve\flate. Om eksempelvis kurven vi jobber med er $x$-aksen, gitt ved $y=0$, så får vi enhetsnormalene $(0,1)$ og $(0,-1)$. Merk deg at vi kan velge om normalen skal peke "opp" eller "ned" (andre ganger "innover" eller "utover"), så vi må i dette tilfellet spesifisere fortegnet til andrekomponenten til normalen. Derfor er dette også gjort i oppgaven din.

Vi finner kurvens normalvektor:

Metode 1: En normalvektor vil alltid stå vinkelrett på tangentvektoren $\vec{t}$. Vi deriverer for å finne tangentvektoren:
$$\vec{t} = (1,2x).$$

Fra dette ser vi at $\lambda(2x,-1)$ vil være en normalvektor. for $\lambda \neq 0$, ettersom $(1,2x) \cdot \lambda (2x ,-1) = \lambda(2x - 2x) = 0$, så $\lambda(2x,-1)$ står normal på tangentvektoren vår $\vec{t}$. Vi ønsker negativ andrekomponent, så vi må velge $\lambda > 0.$ For å finne enhetsnormalen $\vec{n}$ normaliserer vi:

$$\vec{n} = \frac{1}{|\lambda(2x,-1)|}\lambda(2x,-1) = \frac{1}{\sqrt{4x^2 + 1}}(2x,-1)$$

Metode 2: (hvis du har lært om gradientvektoren ennå):

Kurven kan beskrives ved likningen
$$p(x,y) = y - x^2 = 0.$$

Vi vet at $\pm\nabla p$ står normal på kurven, så en normalvektor er gitt ved
$$\pm\nabla p = \pm(-2x,1).$$
Vi reskalerer nå denne normalen slik at vi får negativ andrekomponent og lengde $1$ liksom i metoden ovenfor.

Hei! Tusen takk for meget godt svar. Det hjalp skikkelig.

[Guest]

Hei,

Jeg sitter fast på en oppgave og klarer ikke å finne ut hva enhetsnormalen er. Så jeg lurer på om noen vet hva enhetsnormalen er, hvordan man finner denne generelt og med negativ andrekomponent til en kurve?

Selve oppgaven ser slik ut:

En disk med radius ρ ≤ 1/2 ruller på parabelen y = x^2. La senteret i disken ha koordinater (X, Y ).

a) Finn enhetsnormalen med negativ andrekomponent til kurven s(x) = (x, x^2). Nedenfor kaller
vi denne for n(x).

Enhetsnormalen er en vektor med lengde $1$ som står normal på en gitt kurve\flate. Om eksempelvis kurven vi jobber med er $x$-aksen, gitt ved $y=0$, så får vi enhetsnormalene $(0,1)$ og $(0,-1)$. Merk deg at vi kan velge om normalen skal peke "opp" eller "ned" (andre ganger "innover" eller "utover"), så vi må i dette tilfellet spesifisere fortegnet til andrekomponenten til normalen. Derfor er dette også gjort i oppgaven din.

Vi finner kurvens normalvektor:

Metode 1: En normalvektor vil alltid stå vinkelrett på tangentvektoren $\vec{t}$. Vi deriverer for å finne tangentvektoren:
$$\vec{t} = (1,2x).$$

Fra dette ser vi at $\lambda(2x,-1)$ vil være en normalvektor. for $\lambda \neq 0$, ettersom $(1,2x) \cdot \lambda (2x ,-1) = \lambda(2x - 2x) = 0$, så $\lambda(2x,-1)$ står normal på tangentvektoren vår $\vec{t}$. Vi ønsker negativ andrekomponent, så vi må velge $\lambda > 0.$ For å finne enhetsnormalen $\vec{n}$ normaliserer vi:

$$\vec{n} = \frac{1}{|\lambda(2x,-1)|}\lambda(2x,-1) = \frac{1}{\sqrt{4x^2 + 1}}(2x,-1)$$

Metode 2: (hvis du har lært om gradientvektoren ennå):

Kurven kan beskrives ved likningen
$$p(x,y) = y - x^2 = 0.$$

Vi vet at $\pm\nabla p$ står normal på kurven, så en normalvektor er gitt ved
$$\pm\nabla p = \pm(-2x,1).$$
Vi reskalerer nå denne normalen slik at vi får negativ andrekomponent og lengde $1$ liksom i metoden ovenfor.

Hei! Tusen takk for meget godt svar. Det hjalp skikkelig.

Men kunne jeg stilt et oppfølgingsspørsmål til oppgaven, for jeg har virkelig problemer med å komme med videre.
Hvordan går jeg frem når jeg vil finne X og Y som funksjon av førstekomponten til berøringspunktet s(x)?

På forhånd tusen takk!

[gjest123]

Noen som kan hjelpe til med oppgave b?

b) Finn X og Y som funksjon av førstekomponten til berøringspunktet s(x)

[DennisChristensen]

Noen som kan hjelpe til med oppgave b?

b) Finn X og Y som funksjon av førstekomponten til berøringspunktet s(x)

Merk at punktet hvor disken møter kurven (berøringspunktet) er gitt ved $\left(x,x^2\right)$. Videre er vektoren fra dette punktet til sentrum $\left(X,Y\right)$ gitt ved $-\rho\vec{n}$, hvor $\vec{n}$ er enhetsnormalen vi fant i oppgave (a). Se vedlagte bilde:

matematikk.net-oppgave.jpg (53.72 KiB) Viewed 8937 times

Dermed har vi at $$(X,Y) = s(x) - \rho\vec{n} = (x,x^2) - \rho\frac{1}{\sqrt{4x^2 + 1}}(2x,-1) = \left(x - \frac{2\rho x}{\sqrt{4x^2 + 1}}, x^2 + \frac{\rho}{\sqrt{4x^2+1}}\right).$$

[DennisChristensen]

Hei gjest!

Hvordan kom du frem til svarene i oppgave 1? Regner med at du også jobber med oblig i mat1110?

Noen har allerede spurt om denne oppgaven, og jeg svarte tidligere i dag. Dere kan se min løsning her:
http://matematikk.net/matteprat/viewtop ... 14&t=44763

[gjest123]

Noen som kan hjelpe til med oppgave b?

b) Finn X og Y som funksjon av førstekomponten til berøringspunktet s(x)

Merk at punktet hvor disken møter kurven (berøringspunktet) er gitt ved $\left(x,x^2\right)$. Videre er vektoren fra dette punktet til sentrum $(\left(X,Y\right)$ gitt ved $-\rho\vec{n}$, hvor $\vec{n}$ er enhetsnormalen vi fant i oppgave (a). Se vedlagte bilde:

matematikk.net-oppgave.jpg

Dermed har vi at $$(X,Y) = s(x) - \rho\vec{n} = (x,x^2) - \rho\frac{1}{\sqrt{4x^2 + 1}}(2x,-1) = \left(x - \frac{2\rho x}{\sqrt{4x^2 + 1}}, x^2 + \frac{\rho}{\sqrt{4x^2+1}}\right).$$

Hvorfor skrives ikke Enhetsnormalen om til (1, -1/2x)?
Tusen hjertelig takk for svar forresten!

[DennisChristensen]

Noen som kan hjelpe til med oppgave b?

b) Finn X og Y som funksjon av førstekomponten til berøringspunktet s(x)

Merk at punktet hvor disken møter kurven (berøringspunktet) er gitt ved $\left(x,x^2\right)$. Videre er vektoren fra dette punktet til sentrum $(\left(X,Y\right)$ gitt ved $-\rho\vec{n}$, hvor $\vec{n}$ er enhetsnormalen vi fant i oppgave (a). Se vedlagte bilde:

matematikk.net-oppgave.jpg

Dermed har vi at $$(X,Y) = s(x) - \rho\vec{n} = (x,x^2) - \rho\frac{1}{\sqrt{4x^2 + 1}}(2x,-1) = \left(x - \frac{2\rho x}{\sqrt{4x^2 + 1}}, x^2 + \frac{\rho}{\sqrt{4x^2+1}}\right).$$

Hvorfor skrives ikke Enhetsnormalen om til (1, -1/2x)?
Tusen hjertelig takk for svar forresten!

Regner med at du mener $\frac{1}{2x}$ der du skrev 1\2x. Ettersom
$$|(1, -\frac{1}{2x})| = \sqrt{1 + \frac{1}{4x^2}} \neq 1,$$
er ikke dette en enhetsnormal. Du må reskalere slik at den får lengde $1$.

Det burde uansett ringe en bjelle om at dette ikke er riktig svar, ettersom vektoren $\left(1,-\frac{1}{2x}\right)$
(1) har ikke negativ andrekomponent når $x < 0$.
(2) er udefinert for $x=0$.

[Røkke, Gjelsten & I]

Hei gjest!

Hvordan kom du frem til svarene i oppgave 1? Regner med at du også jobber med oblig i mat1110?

Eigenverdiene til den matrisen som Dennis fant er 1 og -3. Eigenvektorene er (1,1) og (0,0). Det siste er muligens ikke helt korrekt og for oppgave c må du regne dem manuelt. Svaret blir (-270, 3).

[DennisChristensen]

Hei gjest!

Hvordan kom du frem til svarene i oppgave 1? Regner med at du også jobber med oblig i mat1110?

Eigenverdiene til den matrisen som Dennis fant er 1 og -3. Eigenvektorene er (1,1) og (0,0). Det siste er muligens ikke helt korrekt og for oppgave c må du regne dem manuelt. Svaret blir (-270, 3).

$(0,0)$ er aldri en egenvektor per definisjon. Egenvektorene til $T$ er $1$ og $-3$ som du sier, med korresponderende egenvektorer $\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ og $\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$. Vit også at egenverdiene og egenvektorene til en lineær avbilding er uavhengig av valg av basiser, så ettersom $A$ er matrisen for $T$ med hensyn på standardbasisen i $R^2$ (hvilket kan sjekkes enkelt, prøv å regne ut $A\begin{pmatrix} 2 \\ 1\end{pmatrix}$ og $A\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$) er vi sikre på at dette er riktige egenverdier og egenvektorer.

Vanskelig å tyde hva du mener med det du skriver om oppgave (c), da jeg ikke har hele oppgaven foran meg.

[Madde-2]

Kunne noen hjulpet meg med denne: jeg får den ikke til..

Vi lar x = (x1,...,xn) betegne en vektor i Rn. Et vektorfelt F : Rn → Rn kalles sentralt hvis det kan skrives på formen F(x) = f (|x|)x, der f er en funksjon fra [0, ∞) → R.
a) Vis at sentrale vektorfelter konservative i Rn hvis f er kontinuerlig deriverbar og limr→0 f′(r) = 0.
b) La h(r) være en funksjon slik at h′(r) = rf(r). Vis at φ(x) = h(|x|) er en potensialfunksjon til F.

[zaz]

Kunne noen hjulpet meg med denne: jeg får den ikke til..

Vi lar x = (x1,...,xn) betegne en vektor i Rn. Et vektorfelt F : Rn → Rn kalles sentralt hvis det kan skrives på formen F(x) = f (|x|)x, der f er en funksjon fra [0, ∞) → R.
a) Vis at sentrale vektorfelter konservative i Rn hvis f er kontinuerlig deriverbar og limr→0 f′(r) = 0.
b) La h(r) være en funksjon slik at h′(r) = rf(r). Vis at φ(x) = h(|x|) er en potensialfunksjon til F.

Hele obligen er ren katastrofe! Jeg synes ikke vi har fått nok info på forelesningen og ikke står det noe om i pensumet. Trenger hjelp med denne jeg også!