R2- opggave i romgeometri

[ineedhelp]

Hei! Jeg trenger hjelp til denne oppgaven, DEL 1:

"Ligger de to punktene (3,-4,-5) og (-3,7,0) på samme side av eller på hver sin side av planet 2x-y+2z+5=0?"

Forslag til hvordan man kan løse denne? Kapittelet er romgeometri og tredimensjonalevektorer.

[madfro]

Hei,

Et tips: Finn et utrykk for linjen mellom de to punktene, krysser denne linja planet?

[DennisChristensen]

Hei,

Et tips: Finn et utrykk for linjen mellom de to punktene, krysser denne linja planet?

Hei,

Et tips: Finn et utrykk for linjen mellom de to punktene, krysser denne linja planet?

Dette vil nok ikke hjelpe så altfor mye i seg selv. Linjen vil krysse planet uavhengig om punktene er på samme eller motsatt side av planet, så lenge de ikke ligger på en linje parallell med planet.

Hvis vi henter litt mer informasjon om hvor linjen krysser planet finner vi svaret vårt. Vi må undersøke om dette skjæringspunktet $p$ er "mellom" de to gitte punktene, som skjer hvis og bare hvis

$$p = t(3,-4,-5) + (1-t)(-3,7,0),\text{ hvor }0 \leq t \leq 1.$$

Subsituerer dette uttrykket inn i likningen for planet og løser for $t$:

$$2(3t - 3(1-t)) -(-4t + 7(1-t)+2(-5t)+5=0$$
$$6t - 6 + 6t + 4t - 7 + 7t -10t + 5 = 0$$
$$9t - 8 = 0$$
$$t = \frac{8}{9} $$

Altså er $0\leq t = \frac{8}{9} \leq 1$, så punktene ligger på hver sin side av planet.