[tex]\cot(x) + \tan(y)=2[/tex]
[tex]\sin(x)\cdot \cos(y)=\frac{1}{4}[/tex]
likningssystem 2
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
-
Solar Plexsus
- Over-Guru
- Innlegg: 1686
- Registrert: 03/10-2005 12:09
Vi har gitt likningssystemet
$(1) \;\; \cot x + \tan y= 2$,
$(2) \;\; {\textstyle \sin x \cdot \cos y = \frac{1}{4}}$.
Av definisjonene av cotangens og tangens følger at likning (1) er ekvivalent med
$(3) \;\; {\textstyle \frac{\cos x}{\sin x} + \frac{\sin y}{\cos y} = 2}$.
Ved å gange begge sider av likning (3) med $\sin x \cdot \cos y$, blir resultatet
$\cos x \cdot \cos y + \sin x \cdot \sin y = 2 \sin x \cdot \cos y$,
som kombinert med likning (2) gir
$(4) \;\; {\textstyle \cos(x - y) = \frac{1}{2}}$.
Av likning (4) følger at
$(5) \;\; {\textstyle x - y = \pm \frac{\pi}{3} + 2k_1\pi \; (k_1 \in \mathbb{Z}})$,
Ved å kombinere ligningene (2) og (5) finner vi at
$(6) \;\; {\textstyle \cos y \cdot \sin(y \pm \frac{\pi}{3}) = \frac{1}{4}}$.
La oss betrakte funksjonen ${\textstyle f(y) = \cos y \cdot \sin(y - \frac{\pi}{3}) - \frac{1}{4}}$. Derivasjon gir
${\textstyle f'(y) = -\sin y \cdot \sin(y - \frac{\pi}{3}) + \cos y \cdot \cos(y - \frac{\pi}{3}) = \cos(y + (y - \frac{\pi}{3})) = \cos(2y - \frac{\pi}{3})}$.
Dermed får vi at
${\textstyle f(y) \leq f(\frac{5\pi}{12}) = \cos(\frac{5\pi}{12}) \cdot \sin(\frac{\pi}{12}) - \frac{1}{4} = (\sin(\frac{\pi}{12}) + \frac{1}{2})(\sin(\frac{\pi}{12}) - \frac{1}{2})}$.
Dette kombinert med det faktum at ${\textstyle 0 < \sin(\frac{\pi}{12}) < \sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}}$ gir $f(y) < 0$ for alle reelle tall $y$. Altså har $f$ ingen reelle nullpunkt, som i henhold til (6) betyr at
$(7) \;\; {\textstyle \cos y \cdot \sin(y + \frac{\pi}{3}) = \frac{1}{4}}$.
Ved å anvende den trigonometriske formelen $\sin(u + v) = \sin u \cdot \cos v + \cos u \cdot \sin v$, får vi at likning (7) kan uttrykkes på formen
$(8) \;\; 2 \cos y(\sin y + \sqrt{3}\cos y) = 1$.
Herav følger at
$1 = 2 \cos y \cdot \sin y + 2\sqrt{3} \cos^2 y = \sin 2y + \sqrt{3}(1 + \cos 2y)$,
som gir
$\sin 2y + \sqrt{3} \cos 2y = 1 - \sqrt{3}$,
i.e.
$(9) \;\; {\textstyle \sin(2y + \frac{\pi}{3}) = \frac{1 - \sqrt{3}}{2}}$.
Ergo blir
${\textstyle 2y + \frac{\pi}{3} = \sin^{-1} (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) + 2k_2\pi}$
eller
${\textstyle 2y + \frac{\pi}{3} = -\sin^{-1}(\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) + \pi + 2k_2\pi}$
der $k_2 \in \mathbb{Z}$, som kombinert med identiteten ${\textstyle x = y + \frac{\pi}{3}} + 2k_1\pi$ gir oss følgende løsninger av likningssettet (1)-(2):
${\textstyle (x,y) = (\frac{\pi}{6} + \theta + k_3\pi, -\frac{\pi}{6} + \theta + k_2\pi), \: (\frac{2\pi}{3} - \theta + k_3\pi, \frac{\pi}{3} - \theta + k_2\pi)}$,
der $k_3 = 2k_1 + k_2$ og ${\textstyle \theta = \frac{1}{2} \sin^{-1} (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}$.
$(1) \;\; \cot x + \tan y= 2$,
$(2) \;\; {\textstyle \sin x \cdot \cos y = \frac{1}{4}}$.
Av definisjonene av cotangens og tangens følger at likning (1) er ekvivalent med
$(3) \;\; {\textstyle \frac{\cos x}{\sin x} + \frac{\sin y}{\cos y} = 2}$.
Ved å gange begge sider av likning (3) med $\sin x \cdot \cos y$, blir resultatet
$\cos x \cdot \cos y + \sin x \cdot \sin y = 2 \sin x \cdot \cos y$,
som kombinert med likning (2) gir
$(4) \;\; {\textstyle \cos(x - y) = \frac{1}{2}}$.
Av likning (4) følger at
$(5) \;\; {\textstyle x - y = \pm \frac{\pi}{3} + 2k_1\pi \; (k_1 \in \mathbb{Z}})$,
Ved å kombinere ligningene (2) og (5) finner vi at
$(6) \;\; {\textstyle \cos y \cdot \sin(y \pm \frac{\pi}{3}) = \frac{1}{4}}$.
La oss betrakte funksjonen ${\textstyle f(y) = \cos y \cdot \sin(y - \frac{\pi}{3}) - \frac{1}{4}}$. Derivasjon gir
${\textstyle f'(y) = -\sin y \cdot \sin(y - \frac{\pi}{3}) + \cos y \cdot \cos(y - \frac{\pi}{3}) = \cos(y + (y - \frac{\pi}{3})) = \cos(2y - \frac{\pi}{3})}$.
Dermed får vi at
${\textstyle f(y) \leq f(\frac{5\pi}{12}) = \cos(\frac{5\pi}{12}) \cdot \sin(\frac{\pi}{12}) - \frac{1}{4} = (\sin(\frac{\pi}{12}) + \frac{1}{2})(\sin(\frac{\pi}{12}) - \frac{1}{2})}$.
Dette kombinert med det faktum at ${\textstyle 0 < \sin(\frac{\pi}{12}) < \sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}}$ gir $f(y) < 0$ for alle reelle tall $y$. Altså har $f$ ingen reelle nullpunkt, som i henhold til (6) betyr at
$(7) \;\; {\textstyle \cos y \cdot \sin(y + \frac{\pi}{3}) = \frac{1}{4}}$.
Ved å anvende den trigonometriske formelen $\sin(u + v) = \sin u \cdot \cos v + \cos u \cdot \sin v$, får vi at likning (7) kan uttrykkes på formen
$(8) \;\; 2 \cos y(\sin y + \sqrt{3}\cos y) = 1$.
Herav følger at
$1 = 2 \cos y \cdot \sin y + 2\sqrt{3} \cos^2 y = \sin 2y + \sqrt{3}(1 + \cos 2y)$,
som gir
$\sin 2y + \sqrt{3} \cos 2y = 1 - \sqrt{3}$,
i.e.
$(9) \;\; {\textstyle \sin(2y + \frac{\pi}{3}) = \frac{1 - \sqrt{3}}{2}}$.
Ergo blir
${\textstyle 2y + \frac{\pi}{3} = \sin^{-1} (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) + 2k_2\pi}$
eller
${\textstyle 2y + \frac{\pi}{3} = -\sin^{-1}(\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) + \pi + 2k_2\pi}$
der $k_2 \in \mathbb{Z}$, som kombinert med identiteten ${\textstyle x = y + \frac{\pi}{3}} + 2k_1\pi$ gir oss følgende løsninger av likningssettet (1)-(2):
${\textstyle (x,y) = (\frac{\pi}{6} + \theta + k_3\pi, -\frac{\pi}{6} + \theta + k_2\pi), \: (\frac{2\pi}{3} - \theta + k_3\pi, \frac{\pi}{3} - \theta + k_2\pi)}$,
der $k_3 = 2k_1 + k_2$ og ${\textstyle \theta = \frac{1}{2} \sin^{-1} (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}$.