Tallteori

[Gustav]

Tallet $N$ har nøyaktig $6$ divisorer, og summen av divisorene er lik $3500$. Finn alle mulige verdier av $N$.

[Nebuchadnezzar]

1996?

[LAMBRIDA offline]

Det nærmeste eg kan komme er med tallet 2421, som eg tror har 6 divisorer med en samlet sum på 3510.

[Dolandyret offline]

1996 er vel det eneste.

[Gjest offline]

Hvordan er det dere har kommet frem til disse tallene?

[Gustav]

1996 er riktig, ja!

[Janhaa]

Vet ikke helt, men vi har at:

[tex]N=p\cdot q^2[/tex]
der p og q er primtall
og
antall divisore:
[tex]d(N) = (a_1+1)(a_2+1)=6[/tex]

og summen av divisorer:
[tex]\sigma(N)=\sigma(p\cdot q^2)=\left(\frac{p^2-1}{p-1}\right) \left(\frac{q^3-1}{q-1}\right)=3500[/tex]
som passer for:
[tex]p=499[/tex]
og
[tex]q=2[/tex]
og
[tex]N=1996[/tex]

[Gustav]

Ser bra ut dette. Du kan jo faktorisere og forkorte litt for å finne alle mulige p,q her.

En annen mulighet er at tallet er på formen $N=p^5$ for primtall p. Det er lett å vise at summen av divisorene ikke kan være lik 3500 i dette tilfellet.

[LAMBRIDA offline]

Tillater meg å skrive hvordan vi finner antall divisorer i et tall, og håper dette er rett.

Vi kan f.eks finne ut hvor mange divisorer tallet [tex]24[/tex] har ved å løse tallet opp i prim-faktorer slik:
[tex]24 = 2^{3}*3[/tex]. Viss man legger [tex]1[/tex] til eksponenten for hvert primtall, og ganger resultatet, får man antall divisorer. For tallet [tex]24[/tex] blir det slik: [tex](3+1)*(1+1)=8[/tex]. Altså [tex]24[/tex] har [tex]8[/tex] divisorer.
Med tallet [tex]1996[/tex] blir det slik: [tex]1996=2^{2}*499, og (2+1)*(1+1)=6[/tex]. Altså tallet [tex]1996[/tex] har [tex]6[/tex] divisorer.

På denne måten fant eg tallet 2421, men det var ikke det rette.

[growth mindset offline]

Interessant. Men hvorfor legger man til 1 på eksponenten? Jeg må begrunne hvordan jeg finner antall divisorer;(