Jeg sliter med å forstå hva en algebra er, og hva motivasjonen for definisjonen er (f. eks har jeg forstått at motivasjonen bak moduler er å generalisere definisjonen av et vektorrom).
Er homomorfien i en algebra "ganging av vektorer"?
En av definisjonene jeg har sett er at en [tex]A[/tex]-algebra er en ring [tex]B[/tex] med en homomorfi [tex]\phi:A\rightarrow B[/tex]. Jeg har sett at ringen [tex]k[x,y][/tex] kalles en [tex]k[/tex]-algebra, betyr dette bare at vi har den vanlige ringen [tex]k[x,y][/tex], med en homomorfi [tex]\phi: k \rightarrow k[x,y][/tex]?
En annen definisjon jeg har sett er at [tex]B[/tex] skal være en [tex]A[/tex]-modul, sammen med en funksjon [tex]\psi:B\times B \rightarrow B[/tex] hvor [tex]\psi[/tex] er [tex]A[/tex]-bilineær.
Hvordan vil en slik homomorfi typisk se ut? Er det ofte en inklusjon? (Som i [tex]\phi: k \rightarrow k[x,y][/tex])
Algebra (over en ring)
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
-
Kake med tau
- Dirichlet
- Innlegg: 160
- Registrert: 05/02-2013 14:12
- Sted: Fetsund
"If you really want to impress your friends and confound your enemies, you can invoke tensor products… People run in terror from the $\otimes$ symbol." - en professor ved Standford
-
Fibonacci92
- Abel
- Innlegg: 665
- Registrert: 27/01-2007 22:55
Jeg tenker på en (unital assosiativ) algebra som en R-modul med et produkt, altså en regel for å gange sammen vektorer. ($\psi$ tilsvarer produktet ditt)
F.eks. er matriseringen $M_2(\mathbb{R})$ en algebra siden $M_2(\mathbb{R}) \cong \mathbb{R}^4$ som vektorrom (i.e. $\mathbb{R}$-moduler) I tillegg har vi en produktstruktur via matriseproduktet.
Tilsvarende er $k[x,y] \cong k^{\infty}$ som $k$-moduler (Ta basisen $\{1, x, y ,x^2 , xy, y^2, \dots \}$), og produktet ditt er bare vanlig produkt av polynomer.
F.eks. er matriseringen $M_2(\mathbb{R})$ en algebra siden $M_2(\mathbb{R}) \cong \mathbb{R}^4$ som vektorrom (i.e. $\mathbb{R}$-moduler) I tillegg har vi en produktstruktur via matriseproduktet.
Tilsvarende er $k[x,y] \cong k^{\infty}$ som $k$-moduler (Ta basisen $\{1, x, y ,x^2 , xy, y^2, \dots \}$), og produktet ditt er bare vanlig produkt av polynomer.