Uttrykke summen

[ThomasSkas]

Hei!
Jeg sitter med følgende uttrykk:

[tex]\sum_{n=1}^{\infty }\frac{n}{(n-1)!}x^n[/tex]

Oppgaven er å finne det endelige uttrykket for summen ovenfor.
JEg ser at det er ei potensrekke, og det er noe som sier meg at [tex]e^x=\sum_{n=0}^{\infty }\frac{x^n}{n!}[/tex] skal brukes. Men jeg vet dessverre inte hvordan jeg skal løse ellers.

Takk for all hjelp!

[stensrud]

Hint:
\[\frac{n}{(n-1)!}=\frac{(n-1)+1}{(n-1)!}=\frac{1}{(n-2)!}+\frac{1}{(n-1)!}\]

[ThomasSkas]

Hint:
\[\frac{n}{(n-1)!}=\frac{(n-1)+1}{(n-1)!}=\frac{1}{(n-2)!}+\frac{1}{(n-1)!}\]

Ok, forkorter og får [tex]\frac{n^2}{n!}[/tex]

setter inn:

[tex]\sum_{n=1}^{\infty }\frac{n^2}{n!}x^n=\sum_{n=1}^{\infty }\frac{x^2}{n!}n^2[/tex]

Hva kan jeg gjøre med n^2? JEg ser nå at uttrykket ligner mer på rekka til exp.

[Gustav]

[tex]\sum_{n=1}^{\infty }\frac{n}{(n-1)!}x^n[/tex]

[tex]\sum_{n=1}^{\infty }\frac{n}{(n-1)!}x^n=x\sum_{n=1}^{\infty }\frac{n}{(n-1)!}x^{n-1}=x\left ( x\sum_{n=0}^{\infty }\frac{1}{n!}x^{n}\right )'[/tex]

[ThomasSkas]

[tex]\sum_{n=1}^{\infty }\frac{n}{(n-1)!}x^n[/tex]

[tex]\sum_{n=1}^{\infty }\frac{n}{(n-1)!}x^n=x\sum_{n=1}^{\infty }\frac{n}{(n-1)!}x^{n-1}=x\left ( x\sum_{n=0}^{\infty }\frac{1}{n!}x^{n}\right )'[/tex]

Fortsetter fra sluttsvaret slik:

[tex]x\left ( x\sum_{n=0}^{\infty }\frac{x^n}{n!} \right )'=x(xe^x)'=x(e^x+xe^x)=e^x(x+x^2)[/tex]

MEN hvordan går du fra andre likhet til tredje likhet, altså, hvordan ser du at [tex]\sum_{n=1}^{\infty }\frac{n}{(n-1)!}x^{n-1}=\left ( x\sum_{n=0}^{\infty }\frac{x^n}{n!} \right )'[/tex]

[Gustav]

MEN hvordan går du fra andre likhet til tredje likhet, altså, hvordan ser du at [tex]\sum_{n=1}^{\infty }\frac{n}{(n-1)!}x^{n-1}=\left ( x\sum_{n=0}^{\infty }\frac{x^n}{n!} \right )'[/tex]

$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{n}{(n-1)!}x^{n-1}=\sum_{n=1}^{\infty }\frac{(x^n)'}{(n-1)!}=\left ( \sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{(n-1)!}\right)'=\left ( x\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n-1}}{(n-1)!}\right)'$.

Så variabelskiftet $m=n-1$ i summen.