La $\sim$ være en binær relasjon på $\mathbb{Z}$ definert som $x \sim y$ iff $x \equiv y \pmod{5}$.
a) Vis at $\sim$ er en ekvivalensrelasjon.
b) Finn $[12]_{\sim}$ og $[-33]_{\sim}$
c) Finn en bijeksjon fra $\left\{[x]_{\sim} \ \rvert \ x \in \mathbb{Z}\right\}$ til $\left\{a, b, c, d, e \right\}$.
Jeg har kommet så langt:
a) Benytter meg av at $x \equiv y \pmod{5}$ hvis og bare hvis $x \bmod{5} = y \bmod{5}$
Refleksiv fordi $x \bmod{5} = x \bmod{5}$
Symmetrisk fordi hvis $x \bmod{5} = y \bmod{5} \rightarrow y \bmod{5} = x \bmod{5}$
Transitiv fordi $\left(x \bmod{5} = y \bmod{5} \land y \bmod{5} = z \bmod{5} \right) \rightarrow x \bmod{5} = z \bmod{5}$
b)
$[12]_{\sim} = \left\{2 + 5k \ \rvert \ k \in \mathbb{Z} \right\}$
$[-33]_{\sim} = \left\{2 + 5k \ \rvert \ k \in \mathbb{Z} \right\}$
c)
Skjønner egentlig lite av denne oppgaven.
Er det noen som kan gi meg noen hint? $[x]_{\sim}$ er der $5 \ \rvert \ x - y$,
og bijeksjon er noe jeg forbinder med at en funksjon er injektiv og surjektiv altså en til en og "onto".
Skal det være at $5 \ \rvert \ x - y$ så lager man en funksjon $f : A \rightarrow B$ der
$ A = \left\{0, 1, 2, 3, 4 \right\}$ og $B = \left\{a, b, c, d, e \right\}$
så kan $f(0) = a, f(1) = b$ osv? eller noe sånn? Skjøner ikke heelt hva jeg driver med her! Help please!!
