Fredagsintegral

[Aleks855]

Løs $$\int_0^{\pi/2} \frac{\sin^{1395}x}{\sin^{1395}x + \cos^{1395}x}\ \mathrm dx$$

Hint: Denne kan løses med VGS-kunnskaper (R2), litt ekstra pågangsmot, og med den nyttige egenskapen $\int_a^b f(x)\ \mathrm dx=\int_a^b f(a+b-x)\ \mathrm dx$

[Redzic]

Løs $$\int_0^{\pi/2} \frac{\sin^{1395}x}{\sin^{1395}x + \cos^{1395}x}\ \mathrm dx$$

Hint: Denne kan løses med VGS-kunnskaper (R2), litt ekstra pågangsmot, og med den nyttige egenskapen $\int_a^b f(x)\ \mathrm dx=\int_a^b f(a+b-x)\ \mathrm dx$

Jeg prøver:

$\int_a^b f(x)\ \mathrm dx=\int_a^b f(a+b-x)\ \mathrm dx$

Formelen angir følgende ekvivalens:

[tex]\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}\frac{sin^{1395}(x)}{sin^{1395}(x)+cos^{1395}(x)}dx=\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}\frac{sin^{1395}(\frac{\pi }{2}+0-x)}{sin^{1395}(\frac{\pi }{2}+0-x)+cos^{1395}(\frac{\pi }{2}+0-x)}dx[/tex]

Jeg lar A betegne denne ekvivalensen.

Ved å bruke omgjøringsformlene/kjente trigonometriske identiteter, så vil man ende opp med følgende:

[tex]A=\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}\frac{cos^{1395}(x)}{sin^{1395}(x)+cos^{1395}(x)}dx[/tex]

Nå prøver jeg meg videre med å addere disse to integraluttrykkene vi har, dvs. det opprinnelige integralet i oppgaven + det jeg har utledet nå.

[tex]A+A=2A=\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}\frac{sin^{1395}(x)+cos^{1395}(x)}{sin^{1395}(x)+cos^{1395}(x)}[/tex]

[tex]2A=\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}1dx=\frac{\pi }{2}\Rightarrow A=\frac{\pi }{4}[/tex]