Relasjoner kjapt spm

[hallapaadeg]

Hei. Har oppgaven

"Which of these relations on the set of all functions from $\mathbb{z}$ to $\mathbb{z}$ are equivalence relations? determine the properties of an equivalence relation that the others lack"

for bl.a oppgavene

a) $\left\{(f,g) \ \vert \ f(1) = g(1)\right\}$

b) $\left\{(f,g) \ \vert \ f(0) = g(0) \ \ or \ \ f(1) = g(1) \right\}$

Men jeg skjønner ikke helt greia. Er det at i oppgave $a$ har man en ekvivalensrelasjon

er det riktig at tuplene for a vil se slik ut: $ \left\{ ..., (-3, -3), (-2, -2), (-1, -1), (0,0), (1, 1), (2, 2), (3, 3),...\right\}$ ?
det må vel være feil.

men i fasiten står det b ikke er en ekvivalensrelasjon fordi den ikke er transitiv. men jeg skjønner ikke greia.
det vil vel aldri finnes noen tupler der man har $(x, y) \ , x \neq y$ og dermed ingen situasjon der $(x,y)\in R \land (y, z) \in R \rightarrow (x, z) \in R$

eller har jeg misforstått noe grovt håper noen kan gi meg litt hjelp med å forstå

[DennisChristensen]

Hei. Har oppgaven

"Which of these relations on the set of all functions from $\mathbb{z}$ to $\mathbb{z}$ are equivalence relations? determine the properties of an equivalence relation that the others lack"

for bl.a oppgavene

a) $\left\{(f,g) \ \vert \ f(1) = g(1)\right\}$

b) $\left\{(f,g) \ \vert \ f(0) = g(0) \ \ or \ \ f(1) = g(1) \right\}$

Men jeg skjønner ikke helt greia. Er det at i oppgave $a$ har man en ekvivalensrelasjon

er det riktig at tuplene for a vil se slik ut: $ \left\{ ..., (-3, -3), (-2, -2), (-1, -1), (0,0), (1, 1), (2, 2), (3, 3),...\right\}$ ?
det må vel være feil.

men i fasiten står det b ikke er en ekvivalensrelasjon fordi den ikke er transitiv. men jeg skjønner ikke greia.
det vil vel aldri finnes noen tupler der man har $(x, y) \ , x \neq y$ og dermed ingen situasjon der $(x,y)\in R \land (y, z) \in R \rightarrow (x, z) \in R$

eller har jeg misforstått noe grovt håper noen kan gi meg litt hjelp med å forstå

Definer
$f: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}, x \mapsto x \\
g: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}, x \mapsto 1 \\
h: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}, x \mapsto x + 1$

Da har vi at $f(1) = g(1) = 1$, så $(f,g) \in R$, og $g(0) = h(0) = 1$, så $(g,h) \in R$.
Men $f(0) = 0 \neq 1 = h(1)$ og $f(1) = 1 \neq 2 = h(1)$, så $(f,h) \notin R$.
Altså er ikke relasjonen transitiv.