Mulige verdier

[Gustav]

Bestem alle mulige verdier av

$\frac{a}{a+b+d}+\frac{b}{a+b+c}+\frac{c}{b+c+d}+\frac{d}{a+c+d}$

der $a,b,c,d$ er vilkårlige positive reelle tall.

[Gjest]

$\frac 43$

[Gjest]

ka er svaret her?

[Drezky]

ka er svaret her?

[tex]\mathbf{Mine \, tanker}[/tex]


Vi har at : [tex]\frac{a}{a+b+d}+\frac{b}{a+b+c}+\frac{c}{b+c+d}+\frac{d}{a+c+d}[/tex]

Hvor:
[tex](a+b+d)\neq 0[/tex]
[tex](a+b+c)\neq 0[/tex]
[tex](b+c+d)\neq 0[/tex]
[tex](a+c+d)\neq 0[/tex]

Hvis vi bytter ut hver nevner i regnestykket med [tex]\frac{1}{a+b+c+d}[/tex] vil vi redusere hvert ledd og få 1 som svar. Føgelig er [tex]S\geq 1[/tex]
Antar at [tex]a>b>c>d[/tex]
da er [tex]\frac{a}{a+b+c+d}<1[/tex]

Det andre og fjerde leddet har en nevner som er større enn [tex]b+c+d[/tex] ettersom vi tilføyer [tex]a[/tex] og hvis vi bytter ut dem med [tex]\frac{1}{b+c+d}[/tex] vil leddene øke. Men da vil vel [tex]\frac{b}{b+c+d}+\frac{c}{b+c+d}+\frac{d}{d+b+c}=\frac{b+c+d}{b+c+d}=1[/tex]
Da må vel [tex]\frac{b}{a+b+c}+\frac{c}{b+c+d}+\frac{d}{a+b+d}<1[/tex]

Følgelig er [tex]Sum\, \,\in\,\left [ 1,2 \right ][/tex]


Vet ikke mer...


Etter litt mer ettertanke ser jeg at hvis [tex]c=a=1[/tex] og velger en verdi for henholdsvis [tex]b[/tex] og [tex]d[/tex] slik at [tex]b,d < < 1[/tex]

Således vil:
[tex]\frac{a}{a+b+d}\approx\frac{a}{a}=1[/tex]
[tex]\frac{c}{b+c+d}\approx \frac{c}{c}=1[/tex]
[tex]\frac{b}{a+b+c}\approx\frac{0}{1}=0[/tex]
[tex]\frac{d}{a+c+d}\approx\frac{0}{1}=0[/tex]

Slik at ; [tex]Sum\,=1+0+1+0=2[/tex]

Hvis antagelsen holder at [tex]a[/tex] har størst verdi av alle og [tex][tex][/tex][tex]d=c\approx 0[/tex]
[/tex]

Da vil:

[tex][/tex]
[tex]\frac{b}{a+b+c}+\frac{c}{b+c+d}+\frac{d}{a+c+d}\approx 0[/tex]

og [tex]\frac{a}{a+b+d}\approx\frac{a}{a+0}=1[/tex]

Så [tex]Sum\, \in \left [ 1,2 \right ][/tex]

vet ikke hvordan gjest får [tex]\frac{4}{3}[/tex] men det er sikkert riktig siden [tex]\frac{4}{3}\in\left [ 1,2 \right ][/tex]

[Gjest]

ka er svaret her?

[tex]\mathbf{Mine \, tanker}[/tex]


Vi har at : [tex]\frac{a}{a+b+d}+\frac{b}{a+b+c}+\frac{c}{b+c+d}+\frac{d}{a+c+d}[/tex]

Hvor:
[tex](a+b+d)\neq 0[/tex]
[tex](a+b+c)\neq 0[/tex]
[tex](b+c+d)\neq 0[/tex]
[tex](a+c+d)\neq 0[/tex]

Hvis vi bytter ut hver nevner i regnestykket med [tex]\frac{1}{a+b+c+d}[/tex] vil vi redusere hvert ledd og få 1 som svar. Føgelig er [tex]S\geq 1[/tex]
Antar at [tex]a>b>c>d[/tex]
da er [tex]\frac{a}{a+b+c+d}<1[/tex]

Det andre og fjerde leddet har en nevner som er større enn [tex]b+c+d[/tex] ettersom vi tilføyer [tex]a[/tex] og hvis vi bytter ut dem med [tex]\frac{1}{b+c+d}[/tex] vil leddene øke. Men da vil vel [tex]\frac{b}{b+c+d}+\frac{c}{b+c+d}+\frac{d}{d+b+c}=\frac{b+c+d}{b+c+d}=1[/tex]
Da må vel [tex]\frac{b}{a+b+c}+\frac{c}{b+c+d}+\frac{d}{a+b+d}<1[/tex]

Følgelig er [tex]Sum\, \,\in\,\left [ 1,2 \right ][/tex]


Vet ikke mer...


Etter litt mer ettertanke ser jeg at hvis [tex]c=a=1[/tex] og velger en verdi for henholdsvis [tex]b[/tex] og [tex]d[/tex] slik at [tex]b,d < < 1[/tex]

Således vil:
[tex]\frac{a}{a+b+d}\approx\frac{a}{a}=1[/tex]
[tex]\frac{c}{b+c+d}\approx \frac{c}{c}=1[/tex]
[tex]\frac{b}{a+b+c}\approx\frac{0}{1}=0[/tex]
[tex]\frac{d}{a+c+d}\approx\frac{0}{1}=0[/tex]

Slik at ; [tex]Sum\,=1+0+1+0=2[/tex]

Hvis antagelsen holder at [tex]a[/tex] har størst verdi av alle og [tex][tex][/tex][tex]d=c\approx 0[/tex]
[/tex]

Da vil:

[tex][/tex]
[tex]\frac{b}{a+b+c}+\frac{c}{b+c+d}+\frac{d}{a+c+d}\approx 0[/tex]

og [tex]\frac{a}{a+b+d}\approx\frac{a}{a+0}=1[/tex]

Så [tex]Sum\, \in \left [ 1,2 \right ][/tex]

vet ikke hvordan gjest får [tex]\frac{4}{3}[/tex] men det er sikkert riktig siden [tex]\frac{4}{3}\in\left [ 1,2 \right ][/tex]

det ble intet forklart hvoledes en ender opp med 4/3 her..