Funksjon

[stensrud]

Finn alle $a\in\mathbb{R}$ slik at det finnes en funksjon $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ med følgende to egenskaper:
\[\begin{array}{c c}
\mathrm{(i)}&f(f(x))=f(x)+x,\quad \text{for alle } x\in\mathbb{R}\\
\mathrm{(ii)}&f(f(x)-x)=f(x)+ax,\quad \text{for alle } x\in\mathbb{R}\\
\end{array}\]

[pit]

[tex]f(f(x)) = f(x) + x <=> f(f(x)-x) = (f(x) - x) + x = f(x)[/tex]

Da:

[tex]f(f(x)-x) = f(x) + ax[/tex]

må,

[tex]f(x) = f(x) + ax <=> ax = 0 <=> a = 0[/tex]

[stensrud]

Den første overgangen din stemmer nok ikke helt... Skal ikke røpe om svaret er riktig eller galt.

[Gustav]

Finn alle $a\in\mathbb{R}$ slik at det finnes en funksjon $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ med følgende to egenskaper:
\[\begin{array}{c c}
\mathrm{(i)}&f(f(x))=f(x)+x,\quad \text{for alle } x\in\mathbb{R}\\
\mathrm{(ii)}&f(f(x)-x)=f(x)+ax,\quad \text{for alle } x\in\mathbb{R}\\
\end{array}\]

La x->f(x) i den andre likningen:

$f(f(f(x))-f(x))=f(f(x))+af(x)$

$f(x)=f(x)+x+af(x)$

$af(x)=-x$

Da må a være ulik 0. Så $f(x)=-\frac{x}{a}$.

Ved innsetting i den første likningen får vi dermed at

$\frac{x}{a^2}=-\frac{x}{a}+x$.

Må derfor ha at $1=-a+a^2$ som har løsninger $a=\frac12 \pm \frac{\sqrt{5}}{2}$

Ved innsetting i den andre likningen har vi likedan at

$-\frac{f(x)-x}{a}=-\frac{x}{a}+ax$ og videre
$\frac{x}{a}+x=-x+a^2x$ som er det samme som
$1=-2a+a^3$

Denne har løsningene $a=\frac12 \pm \frac{\sqrt{5}}{2}$ i tillegg til $a=-1$.

Vi konkluderer med at for $a=\frac12 \pm \frac{\sqrt{5}}{2}$ fins det en funksjon som tilfredsstiller begge likningene samtidig.

[stensrud]

Tommel opp! Oppgaven er fra årets NMC. Løste den helt likt selv bortsett fra at jeg tok med en del unødvendig argumentasjon om hvorfor $a\neq 0$.