Faktorisering - polymom

[Drezky]

Slenger en liten oppgave på en lørdags eftermiddag.
Faktoriser polynomet:

[tex]l^4+6l^3+11l^2+6l+1[/tex]

[Nebuchadnezzar]

Antar polynomet er på formen (som må til for å få $x^4$ og konstantleddet $1$)

$ \hspace{1cm}
\begin{align*}
h(x) & = (x^2 + bx + 1)(x^2 + cx + 1) \\
& = x^4 + (b+c) x^3+(bc+2) x^2+(b+c) x + 1
\end{align*}
$

siden polynomet ikke har noen heltallsrøtter ($\pm 1$ fungerer ikke). Ved å sammenligne
koeffisienter får en ligningene $b + c = 6$ og $b c + 2 = 11$. Som gir $b = c = 3$. Altså

$ \hspace{1cm}
h(x) = (x^2 + 3x + 1)^2
$

[Drezky]

Antar polynomet er på formen (som må til for å få $x^4$ og konstantleddet $1$)

$ \hspace{1cm}
\begin{align*}
h(x) & = (x^2 + bx + 1)(x^2 + cx + 1) \\
& = x^4 + (b+c) x^3+(bc+2) x^2+(b+c) x + 1
\end{align*}
$

siden polynomet ikke har noen heltallsrøtter ($\pm 1$ fungerer ikke). Ved å sammenligne
koeffisienter får en ligningene $b + c = 6$ og $b c + 2 = 11$. Som gir $b = c = 3$. Altså

$ \hspace{1cm}
h(x) = (x^2 + 3x + 1)^2
$

Yes, løste den slik i første omgang, men denne tanken slo meg:

[tex]{\color{Purple} {l^4+6l^3+11l^2+6l+1}}={\color{Blue} {(l^4+2l^2+1)}}+{\color{Red} {(6l^3+6l)}}+{\color{Orange} {9l^2}}={\color{Blue} {(l^2+1)^2}}+{\color{Red} {6l(l^2+1)}}+{\color{Orange} {(3l)^2}}={\color{Purple} {(l^2+3l+1)^2}}[/tex]

[Gjest]

Antar polynomet er på formen (som må til for å få $x^4$ og konstantleddet $1$)

$ \hspace{1cm}
\begin{align*}
h(x) & = (x^2 + bx + 1)(x^2 + cx + 1) \\
& = x^4 + (b+c) x^3+(bc+2) x^2+(b+c) x + 1
\end{align*}
$

siden polynomet ikke har noen heltallsrøtter ($\pm 1$ fungerer ikke). Ved å sammenligne
koeffisienter får en ligningene $b + c = 6$ og $b c + 2 = 11$. Som gir $b = c = 3$. Altså

$ \hspace{1cm}
h(x) = (x^2 + 3x + 1)^2
$

Yes, løste den slik i første omgang, men denne tanken slo meg:

[tex]{\color{Purple} {l^4+6l^3+11l^2+6l+1}}={\color{Blue} {(l^4+2l^2+1)}}+{\color{Red} {(6l^3+6l)}}+{\color{Orange} {9l^2}}={\color{Blue} {(l^2+1)^2}}+{\color{Red} {6l(l^2+1)}}+{\color{Orange} {(3l)^2}}={\color{Purple} {(l^2+3l+1)^2}}[/tex]

Hvordan klarte du det? Den siste overgangen er veldig vanskelig for meg å fordøye. Tar nok et par år før jeg klarer å se slike faktoriseringer i hodet..

[Drezky]

Nei, det er ikke lett, men noen så kan forklare meg hvorfor dette fungerer:

La [tex]P(l)=l^4+6l^3+11l^2+6l+1[/tex]
Dermed blir:
[tex]P'(l)=4l^3+18l^2+22l+1+6[/tex]

[tex]sfd(P(l),P'(l))=l^2+3l+1[/tex]

whaaat

[Nebuchadnezzar]

Tanken er å bruke første kvadratsetning $a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$ med $a = l^2+1$ og $b = 3 l$. Eg

$ \hspace{1cm}
(\color{blue}{l^2 + 1})^2 + 2 \cdot \color{red}{3l} \cdot (\color{blue}{l^2 + 1}) + (\color{red}{3l})^2 = ( \color{blue}{l^2 + 1} + \color{red}{3l})^2
$

Drezky's fargelegging kunne vært bedre Fargene er jo ment for å gjøre overgangene tydligere, ikke bare være pent.

[Gjest]

Tanken er å bruke første kvadratsetning $a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$ med $a = l^2+1$ og $b = 3 l$. Eg

$ \hspace{1cm}
(\color{blue}{l^2 + 1})^2 + 2 \cdot \color{red}{3l} \cdot (\color{blue}{l^2 + 1}) + (\color{red}{3l})^2 = ( \color{blue}{l^2 + 1} + \color{red}{3l})^2
$

Drezky's fargelegging kunne vært bedre Fargene er jo ment for å gjøre overgangene tydligere, ikke bare være pent.

takk da forstå jeg det. Det var jammen kløkt!