Anta at $a_1,a_2,...,a_{2n}$ er distinkte heltall slik at ligningen $(x-a_1)(x-a_2)...(x-a_{2n})-(-1)^n (n!)^2=0$ har en heltallig løsning $r$.
Vis at $r=\frac{a_1+a_2+...+a_{2n}}{2n}$
Tallteori
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Definér $b_i:=x-a_i$ for $i=1,2,\dotsc,2n$, slik at $\prod (x-a_i)=\prod b_i$. Videre blir da $\frac{\sum a_i}{2n}=x-\frac{\sum b_i}{2n}$, så det gjenstår kun å vise at $\sum b_i=0$.
Siden alle $a_i$ er parvis distinkte må det samme gjelde for alle $b_i$. Siden $\prod b_i=(-1)^n(n!)^2\neq 0$ kan heller ingen $b_i=0$. Anta så wlog at $|b_1|>n$. Men da er
\[\left|\prod b_i\right|\geq |b_1|\cdot n!(n-1)!>(n!)^2\]
som følger av antakelsen, og dermed kan ingen $|b_i|>n$.
Dermed må $\{b_1,b_2,\dotsc,b_{2n}\}=\{-n,-(n-1),\dotsc,(n-1),n\}\backslash \{0\}$, og $\sum b_i=0$, som ønsket.
Siden alle $a_i$ er parvis distinkte må det samme gjelde for alle $b_i$. Siden $\prod b_i=(-1)^n(n!)^2\neq 0$ kan heller ingen $b_i=0$. Anta så wlog at $|b_1|>n$. Men da er
\[\left|\prod b_i\right|\geq |b_1|\cdot n!(n-1)!>(n!)^2\]
som følger av antakelsen, og dermed kan ingen $|b_i|>n$.
Dermed må $\{b_1,b_2,\dotsc,b_{2n}\}=\{-n,-(n-1),\dotsc,(n-1),n\}\backslash \{0\}$, og $\sum b_i=0$, som ønsket.