finn eksponenten

[Gjest]

Hva er den største eksponenten (x) av [tex]2011^x[/tex] som går opp i [tex]{2010^{2011}}^{2012}+{2012^{2011}}^{2010}[/tex]

Sagt på en annen måte:
[tex]{2010^{2011}}^{2012}+{2012^{2011}}^{2010}=0\left ( mod2011^x \right )[/tex]
Finn x

Lykke til!

[Gjest]

Hint:
[tex]\sum_{k=0}^{2011^{2012}}\left ( k^{2011^{2012}} \right )*2011^k*{{}(-1)^{2011}}^{2012}-k+\sum_{k=0}^{2011^{2010}}\left ( {k^{2011}}^{2010} \right )*2011^k*{1^{2011}}^{2010}^{-k}[/tex]

[Dolandyret]

Hint:
[tex]\sum_{k=0}^{2011^{2012}}\left ( k^{2011^{2012}} \right )*2011^k*{{}(-1)^{2011}}^{2012}-k+\sum_{k=0}^{2011^{2010}}\left ( {k^{2011}}^{2010} \right )*2011^k*{1^{2011}}^{2010}^{-k}[/tex]

Er noe muffins med tex'en din :L

[Gjest]

Hint:
$\sum_{k=0}^{2011^{2012}}\left ( k^{2011^{2012}} \right )*2011^k*{(-1)^{2011}}^{{2012}^{-k}}+\sum_{k=0}^{2011^{2010}}\left ( k^{{2011}^{2010}} \right )*2011^k*1^{2011^{{2010}^{-k}}}$

Var det dette du mente mr. gjest nummer 2?

[Gjest]

ja

[Gustav]

Hva er den største eksponenten (x) av [tex]2011^x[/tex] som går opp i [tex]{2010^{2011}}^{2012}+{2012^{2011}}^{2010}[/tex]

Sagt på en annen måte:
[tex]{2010^{2011}}^{2012}+{2012^{2011}}^{2010}=0\left ( mod2011^x \right )[/tex]
Finn x

Lykke til!

Fra binomialteoremet er
$(2011+1)^{n}=1+\sum_{k=1}^n {n\choose k} 2011^k$, så

$(2011+1)^{n}-1=\sum_{k=1}^n \frac{n!}{k!(n-k)!} 2011^k$

Setter $n=2011^m$, og får

$(2011+1)^{2011^m}-1=\sum_{k=1}^{2011^m} \frac{2011^m!}{k!(2011^m-k)!} 2011^k=2011^{m+1}+ \frac{2011^{m+2}\cdot (2011^{m}-1)}{2!} + ... + 2011^{2011^m}$

Vi ser dermed at $(2011+1)^{2011^{2010}}-1$ er delelig med $2011^{2011}$ (vises enkelt med induksjon), men ikke med $2011^{2012}$.

På samme måte er $(2011-1)^{2011^{2012}}+1$ delelig med $2011^{2013}$, men ikke med $2011^{2014}$.

Dermed er $((2011+1)^{2011^{2010}}-1)+((2011-1)^{2011^{2012}}+1)$ delelig med $2011^{2011}$, men ikke med $2011^{2012}$.

Så $x=2011$.