Bestem antall reelle løsninger av likningen
$x^8-x^7+2x^6-2x^5+3x^4-3x^3+4x^2-4x+\frac52=0$
Hint: -->Det fins ingen <-- (merk feltet)
Reelle løsninger
Moderators: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Er ikke dette en gammel NMC-oppgave eller noe?
$f(x):=x^8-x^7+2x^6-2x^5+3x^4-3x^3+4x^2-4x+\frac{5}{2}=(x^8+2x^6+3x^4+\frac{5}{2})-(x^7+2x^5+3x^3+4x)$
Vi ser at den venstre parentesen alltid er $>0$, og for ikke-positive $x$ er den høyre parentesen $\geq0$. Hvis $x\leq0$ er derfor $f(x)>0$. For positive $x$ gjelder
\begin{align*}
\left(x^4-x^3\right)^2\geq0&\Longleftrightarrow x^8+x^6\geq 2x^7\\
\left(x^3-x^2\right)^2\geq0&\Longleftrightarrow x^6+x^4\geq 2x^5\\
\left(\sqrt{2}x^2-\sqrt{2}x\right)^2\geq0&\Longleftrightarrow 2x^4+2x^2\geq 4x^3\\
\left(\sqrt{2}x-\sqrt{\frac{5}{2}}\right)^2\geq0&\Longleftrightarrow 2x^2+\frac{5}{2}\geq 2\sqrt{5}x\\
\end{align*}
og legger vi sammen ulikhetene til høyre for ekvivalenspilene får vi
$$x^8+2x^6+3x^4+4x^2+\frac{5}{2}\geq x^7+2x^5+4x^3+2\sqrt{5}x\Longleftrightarrow f(x)>x^8-2x^7+2x^6-2x^5+3x^¤-4x^3+4x^2-2\sqrt{5}x+\frac{5}{2}\geq0$$
Altså er $f(x)>0$ også når $x>0$, så likningen har ingen reelle løsninger.
$f(x):=x^8-x^7+2x^6-2x^5+3x^4-3x^3+4x^2-4x+\frac{5}{2}=(x^8+2x^6+3x^4+\frac{5}{2})-(x^7+2x^5+3x^3+4x)$
Vi ser at den venstre parentesen alltid er $>0$, og for ikke-positive $x$ er den høyre parentesen $\geq0$. Hvis $x\leq0$ er derfor $f(x)>0$. For positive $x$ gjelder
\begin{align*}
\left(x^4-x^3\right)^2\geq0&\Longleftrightarrow x^8+x^6\geq 2x^7\\
\left(x^3-x^2\right)^2\geq0&\Longleftrightarrow x^6+x^4\geq 2x^5\\
\left(\sqrt{2}x^2-\sqrt{2}x\right)^2\geq0&\Longleftrightarrow 2x^4+2x^2\geq 4x^3\\
\left(\sqrt{2}x-\sqrt{\frac{5}{2}}\right)^2\geq0&\Longleftrightarrow 2x^2+\frac{5}{2}\geq 2\sqrt{5}x\\
\end{align*}
og legger vi sammen ulikhetene til høyre for ekvivalenspilene får vi
$$x^8+2x^6+3x^4+4x^2+\frac{5}{2}\geq x^7+2x^5+4x^3+2\sqrt{5}x\Longleftrightarrow f(x)>x^8-2x^7+2x^6-2x^5+3x^¤-4x^3+4x^2-2\sqrt{5}x+\frac{5}{2}\geq0$$
Altså er $f(x)>0$ også når $x>0$, så likningen har ingen reelle løsninger.