Noen nøtter for jul

[Audunss89]

Polynomet [tex]f(x)=x^4+ax^3+bx^2+cx+d[/tex] har reelle koeffisienter, og gitt at [tex]f(2i)=f(2+i)=0[/tex]
Hva blir [tex]a+b+c+d=?[/tex]

Får da:

[tex]f(2i)=(2i)^4+a(2i)^3+b(2i)^2+c(2i)+d=16+a8(-i)+b4(-1)+c2(i)+d=0[/tex]

some betyr:
[tex]16-4b+d=0[/tex]
og
[tex]-8a+2c=0[/tex]
og
[tex]f(2+i)=(2+i)^4+a(2+i)^3+b(2+i)^2+c(2+i)+d=0[/tex]
som gir:
[tex]d+2c+ci+b(3+4i)+a(2+11i)+(-7+24i)=0[/tex]
som betyr
[tex]d+2c+3b+2a-7=0[/tex]
og
[tex]c+4b+11a+24=0[/tex]
som er 4 ligninger mer 4 ukjente:

[tex]4b-d=16[/tex]
[tex]4a-c=0[/tex]
[tex]d+2c+3b+2a=7[/tex]
[tex]c+4b+11a=-24[/tex]

som gir:
[tex]a=-4,b=9,c=-16,d=20[/tex]
[tex]a+b+c+d=9[/tex]

[Drezky]

Polynomet [tex]f(x)=x^4+ax^3+bx^2+cx+d[/tex] har reelle koeffisienter, og gitt at [tex]f(2i)=f(2+i)=0[/tex]
Hva blir [tex]a+b+c+d=?[/tex]

Får da:

[tex]f(2i)=(2i)^4+a(2i)^3+b(2i)^2+c(2i)+d=16+a8(-i)+b4(-1)+c2(i)+d=0[/tex]

some betyr:
[tex]16-4b+d=0[/tex]
og
[tex]-8a+2c=0[/tex]
og
[tex]f(2+i)=(2+i)^4+a(2+i)^3+b(2+i)^2+c(2+i)+d=0[/tex]
som gir:
[tex]d+2c+ci+b(3+4i)+a(2+11i)+(-7+24i)=0[/tex]
som betyr
[tex]d+2c+3b+2a-7=0[/tex]
og
[tex]c+4b+11a+24=0[/tex]
som er 4 ligninger mer 4 ukjente:

[tex]4b-d=16[/tex]
[tex]4a-c=0[/tex]
[tex]d+2c+3b+2a=7[/tex]
[tex]c+4b+11a=-24[/tex]

som gir:
[tex]a=-4,b=9,c=-16,d=20[/tex]
[tex]a+b+c+d=9[/tex]

Flott

[stensrud]

Alternativt kan vi benytte oss av det faktum at hvis $P(x)$ er et polynom med reelle koeffisienter og kompleks rot $z$, så er $\bar{z}$ også en rot.

Dette gir sammen med de gitte opplysningene at $f(x)=(x-2i)(x+2i)(x-2-i)(x-2+i)$, og summen av koeffisientene er lik $1+a+b+c+d=f(1)$; resten er bare utregning.