Noen nøtter for jul

[Guest]

1) Dersom [tex]4^x+4^{-x}=7[/tex]. Hva blir [tex]8^x+8^{-x}=?[/tex]


2) Forenkle dette uendlige produktet [tex](1+x)(1+x^2)(1+x^4)(1+x^8)(1+x^{16})...,[/tex]
gitt at [tex]\left | x \right |<1[/tex]


3) Hermie doesn't want to celebrate Christmas on December 25th, so he suggested moving it to a date n days later. Rudolph protested that then Christmas wouldn't happen as often.

Frosty then suggested that the date could be moved n days in the other direction. If Frosty's suggestion was followed, on what day would Christmas fall?

[Brahmagupta]

1) Siden $2^x+2^{-x}>0$ følger det at $(2^x+2^{-x})^2=4^x+2+4^{-x}=9 \Rightarrow 2^x+2^{-x}=3$.
Dermed $8^x+8^{-x}=2^{3x}+2^{-3x}=(2^x+2^{-x})(4^x-1+4^{-x})=3(7-1)=18$.

2) (I Eulers ånd)
\[ \prod_{n=0}^\infty (1+x^{2^n})=\prod_{n=0}^{\infty}\frac{1-x^{2^{n+1}}}{1-x^{2^n}}=\frac1{1-x}\]
Alternativt kan man se rimelig direkte at produktet tilsvarer $\sum_{n\geq0}x^n=1/(1-x)$.

[Guest]

En mer eller mindre ekvivalent løsning med Brahmagupta sin løsning for oppgave 1

Substitusjon: [tex]y=2^x[/tex]
[tex]y^2+y^{-2}=7[/tex]
[tex]y^2+2+y^{-2}=9=(y+y^{-1})^{2}[/tex]
[tex]y+y^{-1}=3[/tex]
[tex]y^{3}+y^{-3}=(y+y^{-1})(y^2-1+y^{-2})=(3)(7-1)=18[/tex]

[stensrud]

Årets juleemne er tydeligvis algebra; her er to oppgaver til:

1) La $p>5$ være et primtall. Vis at likningen $x^4+4^x=p$ ikke har noen heltallsløsninger.

2) Et polynom $P$ av grad $990$ er slik at $P(k)=F_k$ for $k=992,993,\ldots,1982$, hvor $F_k$ betegner det $k$ende Fibonacci-tallet. Hva er $P(1983)$?

[Gustav]

1) Observerer først at x må være positivt oddetall. Vi kan faktorisere på følgende måte:

$(x^2+2^x-x*2^{\frac{x+1}{2}})(x^2+2^x+x*2^{\frac{x+1}{2}})=p$, der begge faktorene er positive heltall, og første faktor minst.

Den eneste måten produktet til venstre kan være primtall er hvis $x^2+2^x-x*2^{\frac{x+1}{2}}=1$. Denne har løsninger x=0 og x=1, der x=0 kan sløyfes umiddelbart siden x må være odde. x=1 gir så at $x^2+2^x+x*2^{\frac{x+1}{2}}=5$, men p>5, så dette går ikke. Altså fins det ingen løsninger på likningen.

[Drezky]

1) Observerer først at x må være positivt oddetall. Vi kan faktorisere på følgende måte:

$(x^2+2^x-x*2^{\frac{x+1}{2}})(x^2+2^x+x*2^{\frac{x+1}{2}})=p$, der begge faktorene er positive heltall, og første faktor minst.

Den eneste måten produktet til venstre kan være primtall er hvis $x^2+2^x-x*2^{\frac{x+1}{2}}=1$. Denne har løsninger x=0 og x=1, der x=0 kan sløyfes umiddelbart siden x må være odde. x=1 gir så at $x^2+2^x+x*2^{\frac{x+1}{2}}=5$, men p>5, så dette går ikke. Altså fins det ingen løsninger på likningen.

Hvordan klarer du å se at leddet kan faktoriseres slik? Jeg hadde aldri klart å sett det for meg...

[Gustav]

Hvordan klarer du å se at leddet kan faktoriseres slik? Jeg hadde aldri klart å sett det for meg...

Prøvde først å løse problemet ved å betrakte likningen modulo forskjellige tall, men da dette ikke førte frem prøvde jeg å faktorisere, på følgende vis:

- Først la jeg merke til at $x^4+4^x=(x^2)^2+(2^x)^2$.
- Inspirert av dette regnet jeg ut $(x^2+2^x)^2=x^4+4^x+2x^2*2^x$.
- Dermed er $x^4+4^x=(x^2+2^x)^2-(x*2^{\frac{x+1}{2}})^2$.
- Så var det bare å bruke konjugatsetningen på dette.

EDIT: Evt. kan man bruke at $x^2+y^2=(x+y)^2-(\sqrt{2xy})^2=(x+y-\sqrt{2xy})(x+y+\sqrt{2xy})$ direkte.

[Guest]

Hva med Sophie's identititet:

$a^4 + 4b^4 = (a^2+2b^2+2ab)(a^2+2b^2-2ab)$

Vi ser at x er odde, altså er $x = 4k+1$ eller $x = 4k+3$ for en eller annen k

dersom $x = 4k+1$:

$x^4 + 4^{4k+1} = x^4 + 4(4^k)^4 = $

dersom dersom $x = 4k+3$:

$4(x^4 + 4^{4k+3} = 4x^4 + (4^{k+1})^4 = 4p$

[Gustav]

Hva med Sophie's identititet:

$a^4 + 4b^4 = (a^2+2b^2+2ab)(a^2+2b^2-2ab)$

Ja, men essensielt den samme identiteten.

[Guest]

Jeg kjører på!
1)

Finn den inverse av funksjonen

[tex]y=\left (\left ( \frac{3^x-9}{3-2^{\frac{7}{6-x}}} \right )^{\frac{1}{5}} \right )^{\frac{6-x}{3}}[/tex]


2)

Show that the equation has a real root.

[tex]4z^3-6i(\sqrt{3})z^2-3(3+i\sqrt{3})z-4=0[/tex]

[stensrud]

2) $z=-\frac{1}{2}$ funker.

[Drezky]

Jeg kjører på!
1)

Finn den inverse av funksjonen

[tex]y=\left (\left ( \frac{3^x-9}{3-2^{\frac{7}{6-x}}} \right )^{\frac{1}{5}} \right )^{\frac{6-x}{3}}[/tex]


2)

Show that the equation has a real root.

[tex]4z^3-6i(\sqrt{3})z^2-3(3+i\sqrt{3})z-4=0[/tex]

Får jeg lov til å spørre hva notasjonen i betyr ?

[Aleks855]

Jeg kjører på!
1)

Finn den inverse av funksjonen

[tex]y=\left (\left ( \frac{3^x-9}{3-2^{\frac{7}{6-x}}} \right )^{\frac{1}{5}} \right )^{\frac{6-x}{3}}[/tex]


2)

Show that the equation has a real root.

[tex]4z^3-6i(\sqrt{3})z^2-3(3+i\sqrt{3})z-4=0[/tex]

Får jeg lov til å spørre hva notasjonen i betyr ?

Det er nok det imaginære tallet som tilfredsstiller $i^2 = -1$.

[Drezky]

Polynomet [tex]f(x)=x^4+ax^3+bx^2+cx+d[/tex] har reelle koeffisienter, og gitt at [tex]f(2i)=f(2+i)=0[/tex]
Hva blir [tex]a+b+c+d=?[/tex]

[Guest]

hint?