Kjapt spm. om integrasjon ved variabelskifte

[MattisTrygstad]

Jeg forsøker å lære meg integrasjon ved variabelskifte.
Hvorfor er det sånn at man kan sette [tex]{u}'dx=du[/tex]?
Er det fordi man får [tex]\frac{du}{dx}=dx[/tex], og dermed kan stryke dx?
Kan noen forklare litt rundt dette så jeg forstår?
All hjelp verdsettes!

[Madfro]

Hei,

[tex]\fraq{du}{dx}[/tex] er bare en anenn skrivemåte for [tex]u'[/tex].

Altså er

[tex]u' = \fraq{du}{dx}[/tex]

Fordelen med brøk (Leibnitz) notasjonen, er at man kan behandle det som en vanlig brøk.
Altså kan vi multiplisere med [tex]dx[/tex] på begge sider og få

[tex]u'dx = du[/tex]

[Madfro]

Hei,

[tex]\frac{du}{dx}[/tex] er bare en anenn skrivemåte for [tex]u'[/tex].

Altså er

[tex]u' = \frac{du}{dx}[/tex]

Fordelen med brøk (Leibnitz) notasjonen, er at man kan behandle det som en vanlig brøk.
Altså kan vi multiplisere med [tex]dx[/tex] på begge sider og få

[tex]u'dx = du[/tex]

[MattisTrygstad]

Hei,

[tex]\fraq{du}{dx}[/tex] er bare en anenn skrivemåte for [tex]u'[/tex].

Altså er

[tex]u' = \fraq{du}{dx}[/tex]

Fordelen med brøk (Leibnitz) notasjonen, er at man kan behandle det som en vanlig brøk.
Altså kan vi multiplisere med [tex]dx[/tex] på begge sider og få

[tex]u'dx = du[/tex]

Ok, skjønner.
Hva er grunnen til at man kan skrive [tex]{u}' som \frac{du}{dx}[/tex]?
Er det et avansert bevis, eller er det en forståelig forklaring?

[Nebuchadnezzar]

Kan prøve å svare deg skikkelig. Anta jeg skal integrere $f(x)$

$
\int f(x) \,\mathrm{d}x
$

Så bruker jeg substitusjonen $x = g(u)$, hvor $g$ bare er en funksjon av $u$. For eksempel om $x = u^2 + 1$ så er $g(u) = u^2 + 1$.
Men nå integrerer vi $u$ så da gir det ikke mening å skrive $\mathrm{d}x$ det betyr jo i realiteten at vi summerer opp en rekke bittesmå elementer
med bredde $x$, men bredden vår nå må avhengig av $u$. Derfor med missbruk av notasjon skriver en

$
\mathrm{d}x = \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}u} \mathrm{d}u
= 1/\left[ \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}u} \right] \mathrm{d}u
= 1/\left[ \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x} \right] \mathrm{d}u
= \frac{1}{g'(u)} \mathrm{d}u
$

Merk at overgangene kanskje virker logiske, men det krever en del regning å vise dette formelt. Denne tråden forklarer det enda nøyere =)

http://math.stackexchange.com/questions ... bstitution

Kanskje en enda enklere forklaring er å glemme triksingen med $\mathrm{d}x$ og $\mathrm{d}u$. Vi vet følgende

$
\int f(g(x)) g'(x) dx = F(g(x)) + C
$

Som du kan vise ved å derivere. En kan huske denne formen ved å derivere høyresiden $[ F\bigl(g(x)\bigr)]' = g'(x) \cdot F'\bigl(g(x)\bigr) = g'(x) \cdot f\bigl(g(x)\bigr)$.
Ved å nå integrere begge sider får vi "kjerneregelen for derivasjon" eller substitusjon som mange like å kalle det. Så i stedet for å trikse
kan en heller vise at integralet kan skrives på formen ovenfor.

[MattisTrygstad]

Kan prøve å svare deg skikkelig. Anta jeg skal integrere $f(x)$

$
\int f(x) \,\mathrm{d}x
$

Så bruker jeg substitusjonen $x = g(u)$, hvor $g$ bare er en funksjon av $u$. For eksempel om $x = u^2 + 1$ så er $g(u) = u^2 + 1$.
Men nå integrerer vi $u$ så da gir det ikke mening å skrive $\mathrm{d}x$ det betyr jo i realiteten at vi summerer opp en rekke bittesmå elementer
med bredde $x$, men bredden vår nå må avhengig av $u$. Derfor med missbruk av notasjon skriver en

$
\mathrm{d}x = \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}u} \mathrm{d}u
= 1/\left[ \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}u} \right] \mathrm{d}u
= 1/\left[ \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x} \right] \mathrm{d}u
= \frac{1}{g'(u)} \mathrm{d}u
$

Merk at overgangene kanskje virker logiske, men det krever en del regning å vise dette formelt. Denne tråden forklarer det enda nøyere =)

http://math.stackexchange.com/questions ... bstitution

Kanskje en enda enklere forklaring er å glemme triksingen med $\mathrm{d}x$ og $\mathrm{d}u$. Vi vet følgende

$
\int f(g(x)) g'(x) dx = F(g(x)) + C
$

Som du kan vise ved å derivere. En kan huske denne formen ved å derivere høyresiden $[ F\bigl(g(x)\bigr)]' = g'(x) \cdot F'\bigl(g(x)\bigr) = g'(x) \cdot f\bigl(g(x)\bigr)$.
Ved å nå integrere begge sider får vi "kjerneregelen for derivasjon" eller substitusjon som mange like å kalle det. Så i stedet for å trikse
kan en heller vise at integralet kan skrives på formen ovenfor.

Takk for bra svar. Tror jeg forstår nå