Maclaurins utvidelse

[Kjemikern]

Finn konvergens radius til Maclaurins utvidelse av:

[tex]f(x)=\int_{0}^{\infty }\frac{dt}{e^t+xt}[/tex]


En morsom oppgave dersom du er ute etter en sikkelig nøtt

[Gustav]

[tex]f(x)=\int_{0}^{\infty }\frac{dt}{e^t+xt}[/tex]

Fra https://en.wikipedia.org/wiki/Different ... egral_sign kan vi bytte om rekkefølgen på derivasjon og integrasjon her. Da har vi at

$f^{(n)}(x)=\int_0^{\infty}\frac{n!(-t)^{n}}{(e^t+xt)^{n+1}}\,dt$, så

$\frac{f^{(n)}(0)}{n!}=\int_0^{\infty}\frac{(-t)^{n}}{(e^t)^{n+1}}\,dt=(-1)^{n}\int_0^\infty t^n e^{-t(n+1)}\,dt=(-1)^n(n+1)^{-n-1}\Gamma(n+1)$, og

$\frac{f^{(n+1)}(0)}{(n+1)!}=(-1)^{n+1}(n+2)^{-n-2}(n+1)\Gamma(n+1)$.

Så $r=\lim_{n\to\infty} (\frac{n+2}{n+1})^{n+2}=\lim_{n\to\infty}(1+\frac{1}{n+1})^{n+1}\cdot \lim_{n\to\infty}(1+\frac{1}{n+1})=e$.

Her har jeg blant annet brukt definisjonen av gammafunksjonen, sammenhengen $\Gamma(n+1)=n\Gamma(n)$, grenseverdidefinisjonen av $e$, samt en produktregel for grenseverdier.

NB: Ikke umulig om det forekommer regnefeil.

[Kjemikern]

[tex]f(x)=\int_{0}^{\infty }\frac{dt}{e^t+xt}[/tex]

Fra https://en.wikipedia.org/wiki/Different ... egral_sign kan vi bytte om rekkefølgen på derivasjon og integrasjon her. Da har vi at

$f^{(n)}(x)=\int_0^{\infty}\frac{n!(-t)^{n}}{(e^t+xt)^{n+1}}\,dt$, så

$\frac{f^{(n)}(0)}{n!}=\int_0^{\infty}\frac{(-t)^{n}}{(e^t)^{n+1}}\,dt=(-1)^{n}\int_0^\infty t^n e^{-t(n+1)}\,dt=(-1)^n(n+1)^{-n-1}\Gamma(n+1)$, og

$\frac{f^{(n+1)}(0)}{(n+1)!}=(-1)^{n+1}(n+2)^{-n-2}(n+1)\Gamma(n+1)$.

Så $r=\lim_{n\to\infty} (\frac{n+2}{n+1})^{n+2}=\lim_{n\to\infty}(1+\frac{1}{n+1})^{n+1}\cdot \lim_{n\to\infty}(1+\frac{1}{n+1})=e$.

Her har jeg blant annet brukt definisjonen av gammafunksjonen, sammenhengen $\Gamma(n+1)=n\Gamma(n)$, grenseverdidefinisjonen av $e$, samt en produktregel for grenseverdier.

NB: Ikke umulig om det forekommer regnefeil.

Helt korrekt! Jeg tenkte ikke helt på den måte. Kan legge ved min lange metode:
Påstand: [tex]r(f,0)=e.[/tex]

Først fikser vi [tex]t[/tex] og utvider den indre funksjonen. Vi har at:
[tex]f(x)=\int_{0}^{\infty } \frac{1}{e^t+xt}dt==\int_{0}^{\infty }\sum_{n=0}^{\infty }(-1)\frac{t^n}{e^{(t(n+1))}}x^ndt.[/tex]

Konvergens radiusen av den indre serien er [tex]\frac{e^t}{t}[/tex] og siden [tex]\underset{t\geq 0}{inf}\frac{e^t}{t}=e[/tex], dette steget er begrunnet for [tex]\left | x \right |<0[/tex]


Det neste vi gjør er å fikse [tex]x[/tex]. Og vi lar [tex]S_{x,N}(t))=\sum_{n=0}^{\infty }(-1)\frac{t^n}{e^{(t(n+1))}}x^n[/tex] være den delvise summen av den indre funksjonen.

Da vil integralet være [tex]\int_{0}^{\infty }\lim_{n\rightarrow \infty }S_{x,n} (t)dt.[/tex]
Fordi [tex]S_{x,n}(t)[/tex] er vekslende og dens betingelse reduseres i omfang er [tex]\left | S_{x,n}(t) \right |[/tex] jevnt avgrenset av normen av sitt første periode. Ved dominans konvergens teorien, kan vi utveksle det uendelige integralet med grensen, så da har vi

[tex]f(x)=\int_{0}^{\infty }\lim_{N \to \infty }S_{x,N}(t)dt=\lim_{N \to \infty }\int_{0}^{\infty }\sum_{n=0}^{N}(-1)^n\frac{t^n}{e^{(t(n+1))}}x^ndt[/tex] (DKT)

[tex]\Rightarrow \lim_{N\rightarrow \infty }\sum_{n=0}^{N}\int_{0}^{\infty }(-1)^n\frac{t^n}{e^{(t(n+1))}}dt[/tex] (Endelig sum)

[tex]\Rightarrow \sum_{n=0}^{\infty }(-1)^n\frac{n!}{(n+1)^{n+1}}n[/tex] (Delvis integrasjon og induksjon)

Vi bruker så Cauchy-Hadamard teoremet, for å regne ut radiusen til konvergensen.
[tex]\frac{1}{r(f,0)}=\lim_{n \to \infty }sup\left | (-1)^n\frac{n!}{(n+1)^{n+1}} \right |^{\frac{1}{n}}=\lim_{n \to \infty }\left | \frac{n!}{(n+1)^{n+1}} \right |^{\frac{1}{n}}.[/tex]

Ved Stirlings formel er den siste grensen sett til å være[tex]\frac{1}{e}[/tex] og dermed kan vi konkludere med at [tex]r(f,0)=e.[/tex]