Analyse: Bevis at f er konstant

[Nebuchadnezzar]

Kom over den her, syntes den var artig å løse. Noen som tar den?

Let $\,f:[a,b] \rightarrow \Bbb R $ be continuous
and $\int_a^b f(x)g(x)\,dx=0$, whenever $g:[a,b] \rightarrow \Bbb R $ is continuous and $\int_a^b g(x)\,dx=0$.

Show that $f$ is a constant function.

[Gustav]

La $g(x)=f(x)-\frac{\int_a^b f(x)\,dx}{b-a}$. Da er $\int_a^b g(x)\,dx = \int_a^b f(x)\,dx-\frac{\int_a^b f(x)\,dx}{b-a}\int_a^b 1\,dx=0$.

Videre er $\int_a^b fg\,dx = \int_a^b f(x)(f(x)-\frac{\int_a^b f(x)\,dx}{b-a})\,dx=0$, som er det samme som at

$\int_a^b f^2\,dx = \frac{\int_a^b f\,dx }{b-a}\int_a^b f\,dx=\frac{1}{b-a} (\int_a^b f\,dx)^2$.

Fra Cauchy-Schwarz' har vi at $\int_a^b f^2\,dx \geq \frac{1}{b-a}(\int_a^b f\,dx)^2$, med likhet kun når f er konstant.