Har følgende homogene? diff ligning:
[tex]x^2y'-y^2 = 0[/tex]
snur litt om:
[tex]y' = \frac{y^2}{x^2}[/tex]
ser på denne som en separabel diff ligning:
[tex]f(x) = y^2, g(x) = x^{-2}[/tex]
bruker da dette:
[tex]\frac{1}{y^2}dy = \frac{1}{x^2}dx[/tex]
har jeg gjort rett så langt?
videre gjør jeg:
[tex]\int \frac{1}{y^2}dy = \int \frac{1}{x^2}[/tex]
blir bare tull etter dette, får y = x, kanskje [tex]\int \frac{1}{y}\frac{1}{y}[/tex] er en bedre måte å gjøre det på, på venstre side?
noen forslag?
iBrus
Diff. Ligning.
Moderators: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
-
DennisChristensen
- Grothendieck
- Posts: 826
- Joined: 09/02-2015 23:28
- Location: Oslo
Alt er riktig fram til $\int \frac{1}{y^2}\space dx = \int \frac{1}{x^2}$,
men vi kan ikke utifra denne likningen konkludere med at $y=x$.
Integrerer: $- \frac{1}{y} =- \frac{1}{x} + c, c \in \mathbb{R} \\
\therefore y = - \frac{1}{- \frac{1}{x} + c} = - \frac{x}{cx - 1} = \frac{x}{1 - cx}$.
Til slutt må vi notere at siden vi har dividert på både $x \text{ og } y$ for å få denne løsningen, har vi mistet løsningen $y \equiv 0$, som også er gyldig.
men vi kan ikke utifra denne likningen konkludere med at $y=x$.
Integrerer: $- \frac{1}{y} =- \frac{1}{x} + c, c \in \mathbb{R} \\
\therefore y = - \frac{1}{- \frac{1}{x} + c} = - \frac{x}{cx - 1} = \frac{x}{1 - cx}$.
Til slutt må vi notere at siden vi har dividert på både $x \text{ og } y$ for å få denne løsningen, har vi mistet løsningen $y \equiv 0$, som også er gyldig.