Trekantproblem

[Solar Plexsus]

Ved et uhell slettet jeg følgende interessante problem av signaturen LAMBRIDA:

I en trekant der lengdene av sidene er tre påfølgende naturlige tall, er en av høydene i trekanten 8 mindre enn en av sidelengdene i trekanten.
Hvor lange er sidene i trekanten?

[Brahmagupta]

La trekanten ha sider $a-1$, $a$ og $a+1$. Ved Herons formel er da arealet gitt ved $A=\frac{a}4\sqrt{3(a^2-4)}$.
Siden alle sidene skal være heltall og en av høydene skal være heltall må arealet kunne skrives på formen
$A=d/2$, for et heltall $d$. Hvis $a$ er et oddetall kan ikke uttrykket ovenfor skrives på denne formen, så
$a=2b$ for et heltall $b$ og dermed $A=b\sqrt{3(b^2-1)}$. Dette medfører at $3(b^2-1)$ må være et kvadrattall,
hvilket vil si at $b^2-1=3c^2$ for et heltall $c$. Denne ligningen har flere løsninger så jeg prøvde å avgjøre
omtrent i hvilken størrelsesorden $a$ måtte være.

Siden det skal være en nevneverdig forskjell på en av høydene og en av sidene må $a$ være rimelig stor.
For store verdier av $a$ vil trekanten tilnærmes ganske godt av en likesidet trekant. I en likesidet trekant
har vi relasjonen $h=\frac{\sqrt3}2x$ mellom høyden $h$ og siden $x$. I tillegg skal $h=x-8$ (tilnærmet).
Dette gir at $x=16/(2-\sqrt3)$ som er omtrent $60$. Jeg startet derfor å lete etter løsninger av ligningen
$b^2-1=3c^2$ for $b\geq \frac{50}2=25$.

Dette ga hurtig resultater. Vi har at $26^2-1=3\cdot 15^2$, som gir sidene i trekanten $51$, $52$ og $53$.
I tillegg er arealet $A=3\cdot15\cdot26=2\cdot3^2\cdot5\cdot13$. Mulige verdier for høyden er da gitt ved
$51-8=43$, $52-8=44$ og $53-8=45$. Ved inspeksjon finner vi at $A=2\cdot3^2\cdot5\cdot13=52\cdot45/2$.
Dermed har vi en løsning når sidene er $51,52,53$ og høyden ned på siden med lengde $52$ er $53-8=45$.

[Solar Plexsus]

Jeg har kommet fram til samme svar som Brahmagupta, men min løsningsmetode er anderledes:

Ut fra de gitte opplysningene er sidelengdene i trekanten $n-1$, $n$ og $n+1$, der $n \geq 3$ er et heltall. Det faktum at lengden av en av høydene $h$ i trekanten er 8 mindre enn en av sidelengdene innebærer at $n > h+8$, hvilket impliserer at $n \geq 10$.

La $a$, $b$ og $c$ være sidelengdene i trekanten slik at høyden med lengde $h$ har fotpunkt på siden med lengde $a$. Denne høyden gjør at trekanten deles i to rettvinklete trekanter med hypotenuser av lengde $b$ og $c$ og kateter av lengde $h,x$ og $h,a-x$. Dermed gir Pytagoras' setning at

$(1) \;\; h^2 + x^2 = b^2$,

$(2) \;\; h^2 + (a - x)^2 = c^2$.

Ved å trekke ligning (2) fra ligning (1), blir resultatet

$2ax - a^2 = b^2 - c^2$,

i.e.

$(3) \;\; x = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2a}$.

Det faktum at $h$ er 8 mindre enn en av de heltallige sidene i trekanten, betyr at $h \in \mathbb{N}$. Iht. (1) innebærer dette at $x^2 = b^2 - h^2 \in \mathbb{N}$, hvilket medfører at $x \in \mathbb{N}$ siden $x \in \mathbb{Q}$ ifølge (3). Dermed gir (3) at ${\textstyle \frac{|b^2 - c^2|}{a} \in \mathbb{N}}$ ifølge (3).

Anta at $a = n \pm 1$. Dermed gir (3) at

$\frac{|b^2 - c^2|}{a} = \frac{|(n \mp 1)^2 - n^2|}{n \pm 1} = \frac{|1 \mp 2n|}{n \pm 1} = \frac{2n \mp 1}{n \pm 1} = 2 \mp \frac{3}{n \pm 1} \in \mathbb{N}$,

som betyr at $n \pm 1 \leq 4$, som ikke er mulig ettersom $n \geq 10$. Denne motsigelsen innebærer at $a \neq n \pm 1$. Altså må $a=n$. Dermed gir (3) at

$x = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2a} = \frac{n^2 + (n \pm 1)^2 - (n \mp 1)^2}{2n} = \frac{n^2 \pm 4n}{2n} = \frac{n}{2} \pm 2$.

Ergo må $n$ være et partall, i.e. $n=2m$ for et heltall $m \geq 5$. Iht. (1) har vi at

${\textstyle h^2 = b^2 - x^2 = (n \pm 1)^2 - (\frac{n}{2} \pm 2)^2 = (2m \pm 1)^2 - (m \pm 2)^2}$,

i.e.

$(4) \;\; h^2 = 3(m^2 - 1)$.

Det faktum at $h + 8 \in \{a,b,c\} = \{2m-1, 2m, 2m+1\}$ betyr at $h = 2m - y$, hvor $y \in \{7,8,9\}$, som innsatt i (4) gir

$(2m - y)^2 = 3(m^2 - 1)$,

som er ekvivalent med

$(5) \;\; (m - 2y)^2 = 3(y^2 - 1)$.

Altså må $3(y^2 - 1) = f(y)$ være et kvadrat, hvilket betyr at $y$ ikke er delelig med 3. Med andre ord er $y \in \{7,8\}$. Nå er $f(7) = 144 = 12^2$ og $f(8)=189$, hvilket gir oss $y=7$. Ifølge (5) blir

$m = 2y \pm \sqrt{f(y)} = 2 \cdot 7 \pm \sqrt{f(7)} = 14 \pm 12$,

som gir $m=26$ ettersom $m \geq 5$. Altså er $a = n = 2m = 2 \cdot 26 = 52$. Dermed er sidelengdene i trekanten 51,52 og 53.

[Brahmagupta]

Veldig flott løsning! Min egen løsning kan vel nesten kalles heldig gjetning.