Konstruksjonsoppgave

[Gustav]

Gitt en linje l og to ulike punkter P og Q på samme side utenfor linja. Konstruer sirkelen gjennom P og Q som tangerer l.

[Nebuchadnezzar]

Har denne en geometrisk løsning? Mener jeg har løst en tilsvarende oppgave for et par år siden
men da måtte jeg til med en stygg analytisk løsning. Det eneste jeg kan si geometrisk
er at senteret $S$ til sirkelen vil ligge på midtnormalen til $PQ$.

http://folk.ntnu.no/oistes/Diverse/sirkelmaple.pdf

Merk at jeg definerte jeg bare to punktet i enhetsdisken, og prøvde å
finne en sirkel som tangerte enhetssirkelen. Blir jo tilsvarende om en har en linje.

[Brahmagupta]

Som Nebu sier vil sentrum i sirkelen ligge på midtnormalen mellom to vilkårlige punkter
på sirkelen. Dermed hvis vi finner et tredje punkt, $T$ på sirkelen kan konstruksjonen utføres
som følger. Konstruer midtnormalen på $PQ$ og kall denne linja $m$. På samme vis konstruer
midtnormalen på $PT$ og kall denne linja $m'$. Siden vi har tre distinkte punkter er ikke disse
linjene parallelle. Dermed er sentrum i sirkelen $S=m\cap m'$. Nå kan vi sette passeren i $S$
og slå sirkelen med radius $SP$, og vi er ferdige.

Nå viser vi hvordan vi kan finne ved konstruksjon et tredje punkt som ligger på sirkelen. Vi ser på
to tilfeller. Anta først at $PQ\parallel l$. Konstruer midtnormalen på $PQ$ og kall denne $m$.
Siden sentrum ligger på $m$ må $T=l\cap m$ ligge på sirkelen (og være tangeringspunktet) og
vi har funnet det tredje punktet vi er ute etter.

Anta nå at $PQ\not\parallel l$. I dette tilfelle kan vi forlenge $PQ$ slik at forlengelsen skjærer
$l$ i et punkt $O$. Konstruer på samme måten midtnormalen $m$ på $PQ$ og la $m\cap PQ=R$.

Vi benytter nå formelen for et punkts potens til å finne avstanden fra $O$ til tangeringspunktet
$T$. Vi har at $OT^2=OP\cdot OQ=(OR-PR)(OR+PR)=OR^2-PR^2$ og dermed
$OR^2=OT^2+PR^2$. Det vil si at hvis vi har en rettvinklet trekant hvor hypotenusen har
lengde $OR$ og en av katetene har lengde $PR$, så vil den siste kateten ha lengde $OT$.

For å finne plasseringen til $T$ på $l$ konstruerer vi en linje i $O$ normalt på $l$. La $O'$ være
punktet på denne linja slik at $OO'=PR$. Nå er $T$ punktet på $l$ som oppfyller $O'T=OR$,
så vi måler opp avstanden $OR$ på passeren, setter spissen i $O'$ og slår av denne avstanden
på $l$, og vi har dermed funnet $T$. Vi har nå tre distinkte punkter på sirkelen og kan
gjøre ferdig konstruksjonen ved å gå frem som beskrevet i første avsnitt.

[Gustav]

Flott.

Jeg brukte også punktets potens samt den klassiske konstruksjonen av geometrisk gjennomsnitt for å finne tangeringspunktet T.