Lov å konkludere slik?

[stensrud]

Jeg har likningene $x^2 +yz = 1$ og $z^2+xy = 1$. Dermed vet jeg at $x^2+yz=z^2+xy \implies x^2-xy=z^2-yz=x(x-y)=z(z-y)$. Kan jeg på bakgrunn av dette konkludere med at $x=z$?

[Brahmagupta]

Nei, det kan du ikke! Du kan likevel (delvis) oppnå hva du er ute etter hvis du i stedet omskriver ligningen din til
$x^2-z^2=yx-yz$, ser du hvordan?

[stensrud]

Nei, det kan du ikke! Du kan likevel (delvis) oppnå hva du er ute etter hvis du i stedet omskriver ligningen din til
$x^2-z^2=yx-yz$, ser du hvordan?

Det virket nesten litt for godt til å være sant ja... $(x+z)(x-z)=y(x-z) \implies x+z=y$? (Hvorfor kan jeg ikke konkludere slik jeg ønsket forresten?)


Men nå støter jeg på et par problemer, så kan like så godt legge ved hele oppgaven:

Bestem alle tall $x$, $y$ og $z$ som oppfyller lignings-
systemet:

$x^2+yz = 1$ (likning 1)
$y^2−xz = 0$ (likning 2)
$z^2+xy = 1$ (likning 3)


Setter sammen likning 1 og 3, og får $x^2+yz=z^2+xy⟹x^2-z^2=yx-yz=(x+z)(x-z)=y(x-z) \implies x+z=y$. Men dette må nesten være galt, siden hvis jeg setter inn for $y$ i likning 1 og 2 nå, får jeg:

Likning 1: $x^2 +(x+z)z=x^2+xz+z^2=1$
Likning 2: $(x+z)^2 -xz=x^2+2xz+z^2-xz=x^2+xz+z^2=0$

Altså at $x^2+xz+z^2=1=0$. Det må være noe som jeg gjør galt på veien, men kan ikke skjønne hva?

[Brahmagupta]

$x^2-z^2=y(x-z)\Leftrightarrow (x-z)(x+z-y)=0$

Det vil si at enten er $x=z$ eller $x+z=y$. Du kan ikke dele bort en faktor $(x-z)$, uten først å vurdere
om denne kan være lik $0$! Regningen din videre viser at $x+z=y$ ikke gir noen løsning, så da gjenstår det
å vurdere den andre muligheten.

Når det kommer til hvorfor du ikke kan konkludere at $x=z$ utifra den første omskrivingen din, så er det
ikke verre enn at det ikke er noe i faktoriseringen din som faktisk tilsier at dette må være tilfelle.

[stensrud]

Du kan ikke dele bort en faktor $(x-z)$, uten først å vurdere
om denne kan være lik $0$!

Ganske flaut å ikke komme på at det var feilen når jeg nettopp spurte om deling på null her på forumet... Men uansett, da gikk jo oppgaven greit. Bare ett spørsmål: er det slik at det bare er deling på tallet null som gir feilaktige svar, så slik at hvis en deler på en ukjent faktor, og får et absurd svar, så har en delt på null? Eller er det ikke nødvendigvis slik?