Vi har en kubus som er innskrevet i en kule på en slik måte at alle kubens åtte hjørner tangerer kulens innside. Nå tenker vi oss at denne kubusen skal gå rett gjennom en marsipankule på midten og lage et firkantet hull. Hva stor blir prosenten av volumet til hullet i forhold til kulens volum?
Hvordan regner vi oss frem til at hullet skal ha volum som er nøyaktig halvparten av kulens volum?
Kube i kule
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Tenker kanskje feil, men slik ville jeg angrepet oppgaven:
Kall radien i sirkelen [tex]r[/tex] og sidekanten i kuben [tex]s[/tex]. Da har vi [tex]s= \sqrt{ 2r^2}=r \sqrt{2}[/tex]. Kubens volum blir da [tex]V_{kube}= \left ( r \sqrt{2} \right )^3[/tex]. Det resterende volumet av kulen er følgelig [tex]V_{kule}-V_{kube}= \left ( \frac{4}{3} \pi r^3 \right ) - \left ( r \sqrt{2} \right )^3[/tex]. Volumet av marsipanhullet blir lik volumet av kuben pluss [tex]\frac{2}{6}= \frac{1}{3}[/tex] av det resterende volumet (stemmer det?). Altså; [tex]V_{hull}= \left (r \sqrt{2} \right )^3 + \frac{1}{3} \left ( \left ( \frac{4}{3} \pi r^3 \right ) - \left (r \sqrt{2} \right )^3 \right )= \frac{2}{3} \left (r \sqrt{2} \right )^3+ \frac{4}{9} \pi r^3[/tex].
I forhold til kulens volum utgjør dette
[tex]\frac{ \frac{2}{3} \left (r \sqrt{2} \right )^3+ \frac{4}{9} \pi r^3 }{ \frac{4}{3} \pi r^3 } = \frac{ \left ( \sqrt{2} \right )^3}{2 \pi} + \frac{1}{3} = \frac{ \sqrt{2}}{ \pi} + \frac {1}{3} \approx 78 \%[/tex]
Skjønte ikke helt hva du mente på den siste oppgaven der ...
Kall radien i sirkelen [tex]r[/tex] og sidekanten i kuben [tex]s[/tex]. Da har vi [tex]s= \sqrt{ 2r^2}=r \sqrt{2}[/tex]. Kubens volum blir da [tex]V_{kube}= \left ( r \sqrt{2} \right )^3[/tex]. Det resterende volumet av kulen er følgelig [tex]V_{kule}-V_{kube}= \left ( \frac{4}{3} \pi r^3 \right ) - \left ( r \sqrt{2} \right )^3[/tex]. Volumet av marsipanhullet blir lik volumet av kuben pluss [tex]\frac{2}{6}= \frac{1}{3}[/tex] av det resterende volumet (stemmer det?). Altså; [tex]V_{hull}= \left (r \sqrt{2} \right )^3 + \frac{1}{3} \left ( \left ( \frac{4}{3} \pi r^3 \right ) - \left (r \sqrt{2} \right )^3 \right )= \frac{2}{3} \left (r \sqrt{2} \right )^3+ \frac{4}{9} \pi r^3[/tex].
I forhold til kulens volum utgjør dette
[tex]\frac{ \frac{2}{3} \left (r \sqrt{2} \right )^3+ \frac{4}{9} \pi r^3 }{ \frac{4}{3} \pi r^3 } = \frac{ \left ( \sqrt{2} \right )^3}{2 \pi} + \frac{1}{3} = \frac{ \sqrt{2}}{ \pi} + \frac {1}{3} \approx 78 \%[/tex]
Skjønte ikke helt hva du mente på den siste oppgaven der ...
Altså en kubus som passer inne i en kule på en slik måte som jeg har nevnt ovenfor skal legge grunnlaget for størrelsen på det firkantede hullet rett gjennom en kule. Her er det et forhold mellom hullet og kula. Jeg har regnet det til at volumet av hullet er 55,898454 % i forhold til kulens volum. Jeg håper på en korrekt fasit. Den løsningen som er besvarte skal jeg studere mer.
Den andre oppgaven er å finne ut hvor mye mindre vi må gjøre kubusen for at hullet skal ha volum som er nøyaktig halvparten av kulens volum.
Den andre oppgaven er å finne ut hvor mye mindre vi må gjøre kubusen for at hullet skal ha volum som er nøyaktig halvparten av kulens volum.
Hvis svaret er så lavt som du sier, må jeg ha regnet med helt feil sidelengde på kuben, for med den lengden jeg kom fram til, [tex]s=r \sqrt{2}[/tex] (se over), vil kun selve kuben utgjøre [tex]\frac{3}{ \sqrt{2} \pi} \approx 67,52 \%[/tex] av kulen ...
Sist redigert av skf95 den 30/12-2014 19:33, redigert 1 gang totalt.
Ved nærmere ettertanke ser jeg at [tex]s= \frac{2r}{ \sqrt{3}}[/tex], hvilket gir [tex]\frac{V_{kube}}{V_{kule}}= \frac{2}{ \sqrt{3} \pi}[/tex].
Jeg tenkte først slik:
La kuben ha senter [tex]S[/tex]. Kall et hjørne på kuben [tex]A[/tex], og et hjørne ved siden av (med kun en "strek" i mellom) [tex]B[/tex]. Da er [tex]\angle ASB =90 ^{\circ}[/tex].
Men dette stemmer jo ikke ettersom romdiagonalen i en kube er lengre enn diagonalen til sideflatene. Dermed har jeg et rektangel som skal betraktes, og "dessverre" står ikke diagonalene i et rektangel normalt på hverandre ...
Jeg tenkte først slik:
La kuben ha senter [tex]S[/tex]. Kall et hjørne på kuben [tex]A[/tex], og et hjørne ved siden av (med kun en "strek" i mellom) [tex]B[/tex]. Da er [tex]\angle ASB =90 ^{\circ}[/tex].
Men dette stemmer jo ikke ettersom romdiagonalen i en kube er lengre enn diagonalen til sideflatene. Dermed har jeg et rektangel som skal betraktes, og "dessverre" står ikke diagonalene i et rektangel normalt på hverandre ...
Men når jeg fullfører regningen på samme måte som over, men med den nye sidelengden på kuben, får jeg likevel et par prosentpoeng høyere svar enn deg;
[tex]V_{hull}= \frac{1}{3}+ \frac{4}{3 \sqrt{3} \pi} \approx 57,84 \%[/tex]
Feilen ligger vel i at det ikke blir riktig å addere 1/3 av det resterende volumet - da tar jeg med litt for mye.
[tex]V_{hull}= \frac{1}{3}+ \frac{4}{3 \sqrt{3} \pi} \approx 57,84 \%[/tex]
Feilen ligger vel i at det ikke blir riktig å addere 1/3 av det resterende volumet - da tar jeg med litt for mye.