Jeg jobber med en oppgave, og jeg er usikker på om jeg er helt på bærtur eller om jeg er på rett sti. Oppgaveteksten lyder som følger:
I en barnehage går det 100 barn. På et tidspunkt bryter det ut en omgangssyke i barnehagen. La y(t) være antall barn som er smittet av viruset etter en tid t målt i dager. I dette tilfellet er en god modell for utbredelsen av smitten at vekstraten til antall smittede barn er proposjonal til både y (siden dette er antall barn som er smittet) og til (1-y/100) (siden dette er andelen av barn som kan smittes). Merk at vi antar at alle barn møter i barnehagen selv om de er smittet.
1) La oss godta at det gir mening at for eksempel 3, 2 barn er smittet, og at det betyr at tre
barn er smittet og at et fjerde barn er på vei til å bli smittet. Forklar hvorfor den logistiske
ligningen modellerer dette problemet og gi en formel for y(t)
2) Smitten bryter ut idet ett av de 100 barna mandag morgen kommer i barnehagen med omgangssyke. Neste morgen er fire barn smittet (inkludert barnet som var smittet dagen før). Hvor mange barn er smittet onsdag morgen? Hvilken dag i uken er den første dag der mer enn halvdelen av barna er smittet om morgenen når de kommer i barnehagen?
Jeg tenker slik:
Vi har differensialligningen [tex]\frac{dy}{dx}=ry(1-\frac{y}{100})[/tex], [tex]r[/tex] en konstant, som forteller oss noe om vekstraten: når andelen smittede barn er lav, er vekstraten høy, mens når andelen smittede barn er høy, er vekstraten lav. Løser vi ligningen får vi et uttrykk for [tex]y[/tex]:
[tex]y(t)=\frac{100y_0}{(100-y_0)e^{-rt}+y_0}[/tex]
Er dette rett frem til nå?
Videre tenker jeg at i oppgave 2 har vi fått oppgitt [tex]y_0=1[/tex]. Vi kan dermed finne konstanten r ved å løse ligningen under med hensyn på r:
[tex]y(1)=\frac{100\times1}{(100-1)e^{-r\times1}+1}=4[/tex]
Når jeg så finner konstanten r kan jeg finne ut hvor mange som er smittet ved [tex]t=1,2,3,4osv.[/tex]. Er dette riktig måte å tenke på?
Setter stor pris på et par tips
