Ulikhet

[Gustav]

La $a,b,c,d$ være positive reelle tall slik at $a+b+c+d=1$. Vis at

$\frac{1}{1-\sqrt{a}}+\frac{1}{1-\sqrt{b}}+\frac{1}{1-\sqrt{c}}+\frac{1}{1-\sqrt{d}}\geq 8$

[Brahmagupta]

Ved Cauchy-Schwarz er

$\frac{\sqrt{a}}{1-\sqrt{a}}+\frac{\sqrt{b}}{1-\sqrt{b}}+\frac{\sqrt{c}}{1-\sqrt{c}}+\frac{\sqrt{d}}{1-\sqrt{d}}\geq (\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}+\sqrt{d})^2
(\sqrt{a}(1-\sqrt{a})+(\sqrt{b}(1-\sqrt{b})+(\sqrt{c}(1-\sqrt{c})+(\sqrt{d}(1-\sqrt{d}))^{-1}$

$=(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}+\sqrt{d})^2(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}+\sqrt{d}-1)^{-1}=\frac{S^2}{S-1}\geq4$

Siden $(S-2)^2 \geq 0 \Leftrightarrow \frac{S^2}{S-1}\geq 4$. Derfor har vi altså at

$(1)\;\;\;\frac{\sqrt{a}}{1-\sqrt{a}}+\frac{\sqrt{b}}{1-\sqrt{b}}+\frac{\sqrt{c}}{1-\sqrt{c}}+\frac{\sqrt{d}}{1-\sqrt{d}}\geq4$

Hvis vi så observerer at $\frac1{1-\sqrt{x}}=1+\frac{\sqrt{x}}{1-\sqrt{x}}$ er det lett å se at ulikheten vi ønsker å vise
oppnås fra $(1)$ ved å legge til $4$ på hver side.

Liten oppfølger:
La $a,b,c$ være positive reelle tall slik at $a+b+c=1$. Vis at

$\sqrt{ab+c}+\sqrt{bc+a}+\sqrt{ca+b}\geq 1+\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}$

[Gustav]

Liten oppfølger:
La $a,b,c$ være positive reelle tall slik at $a+b+c=1$. Vis at

$\sqrt{ab+c}+\sqrt{bc+a}+\sqrt{ca+b}\geq 1+\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}$

Homogeniserer og får at ulikheten blir

$\sqrt{a+b}\sqrt{a+c}+\sqrt{b+a}\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\sqrt{c+b}\geq (a+\sqrt{bc})+(b+\sqrt{ac})+(c+\sqrt{ab})$

Fra Cauchy-Schwarz er $\sqrt{a+b}\sqrt{a+c}\geq a+\sqrt{bc}$, så dermed følger den opprinnelige ulikheten.