Integral-ulikhet

[Aleks855]

La $f:[0,1]\longrightarrow \mathbb R$, og kontinuerlig på intervallet, slik at $\int_{0}^{1}x^2f(x)dx=-2\int_{\frac{1}{2}}^{1}F(x)dx$

der $F(x)=\displaystyle\int_{0}^{x}f(t)dt,x\in [0,1]$.

Vis at $\int_{0}^{1}f^2(x)dx\ge 24\left(\int_{0}^{1}f(x)dx\right)^2$

EDIT: Glemte å føye på noen detaljer.

[Nebuchadnezzar]

Har sett oppgaven før, men har du ikke glemt begrensningene på $f(x)$ ?

[Aleks855]

Shh.

[Nebuchadnezzar]

Var litt værre enn forventet, poster derfor det jeg fant. Hvor fant du oppgaven Aleks? Er spent å
se om det finnes en enklere fremgangsmåte. "Kopierer" svaret til ett liknende problem jeg fant på nettet.
Den generelle tanken blir å bruke Cauchy's Swartz ulikhet

$ \hspace{1cm}
\left( \int_0^1 f(x) g(x) \,\mathrm{d}x \right)^2
\leq \left( \int_0^1 f(x)^2 \,\mathrm{d}x \right)
\left( \int_0^1 g(x)^2 \,\mathrm{d}x \right)
$

Fremmgangsmåten blir å finne en passelig funksjon $g(x) $ slik at $\int_0^1 f(x) g(x) \,\mathrm{d}x = \int_0^1 f(x) \mathrm{d}x$.
Samt at $\int_0^1 g(x)^2 \,\mathrm{d}x \leq 24$. En god strategi her (og også i liknende oppgaver) er å lete etter
funksjoner på formen på formen $g(x) = 1 + \phi(x)$, hvor $\int_0^1 \phi(x) f(x) \,\mathrm{d}x =0$. Det er også her den vanskelige
biten ligger. For å finne en slik funksjon må vi manipulere tillegsopplysningen ganske kraftig. Vi har

$ \hspace{1cm}
\int_{\frac{1}{2}}^{1}F(x)dx
= \int_0^1 \int_0^x f(t)\,\mathrm{d}t\,\mathrm{d}x
= \frac{1}{2}\int_0^{1/2} f(t)\,\mathrm{d}t + \int_{1/2}^1 (1-t)f(t)\,\mathrm{d}t
$

Ved å bytte om integrasjonsrekkefølgen. Enten ved direkte regning eller figur,
området som det integreres over blir en trekant. Ved å bruke betingelsen så er

$ \hspace{1cm}
\int_0^1 x^2 f(x)\,\mathrm{d}x
= - \frac{1}{2}\int_0^{1/2} f(x)\,\mathrm{d}x
- \int_{1/2}^1 (1-x)f(x)\,\mathrm{d}x \hspace{2cm} \text{(1)}
$

Hvor integrasjonsvariabelen ble behagelig byttet tilbake til $x$. På den andre siden
så er

$ \hspace{1cm}
\int_0^1 f(x)\,\mathrm{d}x
= -\int_{1/2}^1 (x-1)^2f(x)\,\mathrm{d}x
-\int_0^{1/2} x^2f(x)\,\mathrm{d}x \hspace{2cm} \text{(2)}
$

Bare skriv ut høyresiden for å se at det stemmer. Ved å sette $(2)$ inn $(1)$,
kan likning $(1)$ skrives på formen

$ \hspace{1cm}
\int_{1/2}^1 \{1+(x-1)^2\}f(x)\,\mathrm{d}x + \int_0^{1/2} \{1+x^2\}f(x)\,\mathrm{d}x = 0
\hspace{2cm} \text{(3)}
$

Nå er vi nesten i mål. La oss definere $\phi(x)$ som $1+x^2$ når $x \in [0,1/2]$
og $\phi(x) = 1+(x-1)^2$ når $x \in (1/2,1]$. Da kan $(3)$ skrives som

$ \hspace{1cm}
\int_0^{1} \phi(x) \cdot f(x)\,\mathrm{d}x = 0
$

Som nevnt innledningsvis vil vi nå benytte oss av Cauchy-Schwarz ulikheten.
Ved å sette inn $\phi(x)$ så er altså

$ \begin{array}{ll}
\left( \int_0^{1} f(x) \,\mathrm{d}x \right)^2
& = \left( \int_0^{1} \{ \phi(x) + 1\} f(x) \,\mathrm{d}x \right)^2 \\
& \leq \left( \int_0^1 \bigl(\phi(x) + 1\bigr)^2 \,\mathrm{d}x \right) \left( \int_0^1 f(x)^2 \,\mathrm{d}x \right) \\
& = \frac{1613}{240} \int_0^1 f(x)^2 \,\mathrm{d}x \\
& \leq 24 \int_0^1 f(x)^2 \,\mathrm{d}x \qquad \blacksquare
\end{array}
$

Som var det som skulle vises. I første overgang blir det kun brukt at $\int_0^{1} \phi(x) \cdot f(x)\,\mathrm{d}x=0$,
og i andre overgang blir integralet av $\phi(x)$ regnet ut. Merk at $1613/240 \approx 6.3$ som er en langt mer
nøyaktig konstant enn $24$. Jeg antar derfor at det eksisterer enklere metoder for å finne en grovere tilnærming.
Vi kan få en enda bedre tilnærming ved å legge merke til at $\int_0^{1} m \phi(x) \cdot f(x)\,\mathrm{d}x=0$,
hvor $m\in \mathbb{R}$.

$ \hspace{1cm}
\int_0^{1} (m \phi(x) +1)^2 \,\mathrm{d}x = 1 + \frac{13}{6}m +\frac{283}{240}m^2 \leq \frac{4}{849}
$

Den siste likheten følger fra derivasjon og å se på minimum av uttrykket. Dermed så er

$ \hspace{1cm}
\left( \int_0^{1} f(x) \,\mathrm{d}x \right)^2
= \left( \int_0^1 \left\{1 -\frac{260}{283} \phi(x) \right\} f(x) \,\mathrm{d}x\right)^2
\leq \frac{4}{849} \int_0^1 f(x)^2 \,\mathrm{d}x\ ,
$

den beste konstanten vi kan finne $4/849 \approx 0.00471$. Hvor igjen Cauchy ulikheten ble benyttet,

[Aleks855]

Ser ut som du fant løsninga på samme plassen som jeg fant oppgaven.

[Gustav]

$ \begin{array}{ll}
\left( \int_0^{1} f(x) \,\mathrm{d}x \right)^2
& = \left( \int_0^{1} \{ \phi(x) + 1\} f(x) \,\mathrm{d}x \right)^2 \\
& \leq \left( \int_0^1 \bigl(\phi(x) + 1\bigr)^2 \,\mathrm{d}x \right) \left( \int_0^1 f(x)^2 \,\mathrm{d}x \right) \\
& = \frac{1613}{240} \int_0^1 f(x)^2 \,\mathrm{d}x \\
& \leq 24 \int_0^1 f(x)^2 \,\mathrm{d}x \qquad \blacksquare
\end{array}
$

Som var det som skulle vises.

Dette stemmer vel ikke helt. Det som skulle vises var at $(\int_0^1 f\,dx)^2\leq \frac{1}{24}\int_0^1 f^2\,dx$, men det viser du jo uansett senere.