Hallais, her er en oppfølger til den siste:
a) La a, b og c være tre ulike rasjonale tall.
Vis at
[tex]\frac{1}{(b-c)^2}+\frac{1}{(c-a)^2}+\frac{1}{(a-b)^2}[/tex]
er kvadratet av et rasjonalt tall.
b)
Vis at det ikke finnes noen brøk [tex]\frac{a}{b}[/tex]
som er slik at [tex](\frac{a}{b})^2=3[/tex]
Kvadratet av et rasjonalt tall
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
-
Brahmagupta
- Guru
- Innlegg: 628
- Registrert: 06/08-2011 01:56
a) Dette er en god oppgave! 
La $x=a-b,\;\; y=b-c$ og $z=c-a$. Merk at da er $x+y+z=0$ og uttrykket kan nå skrives som
$\frac1{x^2}+\frac1{y^2}+\frac1{z^2}$
Vi observerer nå at
$(\frac1{x}+\frac1{y}+\frac1{z})^2=\frac1{x^2}+\frac1{y^2}+\frac1{z^2}+2(\frac1{xy}+\frac1{yz}+\frac1{zx})=\frac1{x^2}+\frac1{y^2}+\frac1{z^2}+2\frac1{xyz}(x+y+z)
=\frac1{x^2}+\frac1{y^2}+\frac1{z^2}$
Det gjenstår nå å vise at $\frac1{x}+\frac1{y}+\frac1{z}$ er rasjonalt. Dette vil følge fra følgende lemma
Hvis $u$ og $v$ er rasjonale tall så er: i) $u+v$ rasjonal og ii) $u^{-1}$ rasjonal.
i) $u+v=\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad+bc}{bd}\;\;\;$ som dermed er rasjonalt.
ii) $u^{-1}=(\frac{a}{b})^{-1}=\frac{b}{a}\;\;\;$ som er rasjonalt.
Dette gir at $x,y,z$ er rasjonale ved i) ($x=a+(-b)$). Videre er $\frac1{x},\frac1{y},\frac1{z}$ rasjonale ved ii)
og til slutt er $\frac1{x}+\frac1{y}+\frac1{z}$ rasjonalt ved i) igjen og vi er ferdige.
b) Dette beviset går akkurat som beviset for at $\sqrt2$ er irrasjonalt.
Anta at det finnes positive heltall $a,b$ slik at $(\frac{a}{b})^2=3$ eller $a^2=3b^2$.
Etter en eventuell forkorting kan vi anta at $a$ og $b$ ikke har noen felles faktor.
Fra $a^2=3b^2$ følger det at $3$ må dele $a^2$. Siden 3 er et primtall medfører det at 3 må dele $a$.
Vi kan da skrive $a=3c$ for et positivt heltall c. Innsatt i ligningen gir dette at $9c^2=3b^2\Rightarrow 3c^2=b^2$.
Ved akkurat det samme argumentet kommer vi frem til at 3 også må dele $b$ hvilket motstrider antagelsen
om at de ikke hadde noen felles faktor. Dermed kan ikke en slik brøk [tex]\frac{a}{b}[/tex] eksistere.
Dette viser selvfølgelig at $\sqrt3$ er irrasjonalt.
La $x=a-b,\;\; y=b-c$ og $z=c-a$. Merk at da er $x+y+z=0$ og uttrykket kan nå skrives som
$\frac1{x^2}+\frac1{y^2}+\frac1{z^2}$
Vi observerer nå at
$(\frac1{x}+\frac1{y}+\frac1{z})^2=\frac1{x^2}+\frac1{y^2}+\frac1{z^2}+2(\frac1{xy}+\frac1{yz}+\frac1{zx})=\frac1{x^2}+\frac1{y^2}+\frac1{z^2}+2\frac1{xyz}(x+y+z)
=\frac1{x^2}+\frac1{y^2}+\frac1{z^2}$
Det gjenstår nå å vise at $\frac1{x}+\frac1{y}+\frac1{z}$ er rasjonalt. Dette vil følge fra følgende lemma
Hvis $u$ og $v$ er rasjonale tall så er: i) $u+v$ rasjonal og ii) $u^{-1}$ rasjonal.
i) $u+v=\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad+bc}{bd}\;\;\;$ som dermed er rasjonalt.
ii) $u^{-1}=(\frac{a}{b})^{-1}=\frac{b}{a}\;\;\;$ som er rasjonalt.
Dette gir at $x,y,z$ er rasjonale ved i) ($x=a+(-b)$). Videre er $\frac1{x},\frac1{y},\frac1{z}$ rasjonale ved ii)
og til slutt er $\frac1{x}+\frac1{y}+\frac1{z}$ rasjonalt ved i) igjen og vi er ferdige.
b) Dette beviset går akkurat som beviset for at $\sqrt2$ er irrasjonalt.
Anta at det finnes positive heltall $a,b$ slik at $(\frac{a}{b})^2=3$ eller $a^2=3b^2$.
Etter en eventuell forkorting kan vi anta at $a$ og $b$ ikke har noen felles faktor.
Fra $a^2=3b^2$ følger det at $3$ må dele $a^2$. Siden 3 er et primtall medfører det at 3 må dele $a$.
Vi kan da skrive $a=3c$ for et positivt heltall c. Innsatt i ligningen gir dette at $9c^2=3b^2\Rightarrow 3c^2=b^2$.
Ved akkurat det samme argumentet kommer vi frem til at 3 også må dele $b$ hvilket motstrider antagelsen
om at de ikke hadde noen felles faktor. Dermed kan ikke en slik brøk [tex]\frac{a}{b}[/tex] eksistere.
Dette viser selvfølgelig at $\sqrt3$ er irrasjonalt.