VGS [algebra]

[Nebuchadnezzar]

Skriv så enkelt som mulig

$ \hspace{1cm}
\frac{\sqrt{x}+1}{x\sqrt{x} + x +\sqrt{x}} \Big/ \frac{1}{x^2 - \sqrt{x}}
$

[skf95]

Uttrykket er ekvivalent med

[tex]\frac{ \sqrt{x} +1}{x \sqrt{x} +x+ \sqrt{x} } \cdot (x^2- \sqrt{x})[/tex]

Multipliserer teller og nevner med [tex]\sqrt{x} -1[/tex] og får

[tex]\frac{( \sqrt{x} -1)( \sqrt{x} +1)}{( \sqrt{x} -1)(x \sqrt{x} +x+ \sqrt{x} )} \cdot (x^2- \sqrt{x})[/tex]

[tex]\frac{x-1}{x^2+x \sqrt{x} +x-x \sqrt{x} -x- \sqrt{x} } \cdot (x^2- \sqrt{x} )[/tex]

[tex]\frac{(x-1)(x^2- \sqrt{x} )}{x^2- \sqrt{x}}[/tex]

[tex]x-1[/tex]

[Nebuchadnezzar]

Svært bra, brukte selv binomialformelen på $x - \sqrt{x}$ som og fører fram men hakket mer tungvindt.
Vi øker lista litt og fortsetter med algebraforenklinger

$ \hspace{1cm}
\frac{\sqrt{8-4\sqrt{3\,}\,}}{\sqrt[3]{12\sqrt{3\,}-20\,}\,}
$

Et hint er at uttrykket kan skrives på formen $2^m$, $m \in \mathbb{R}$.

[Gustav]

Svært bra, brukte selv binomialformelen på $x - \sqrt{x}$ som og fører fram men hakket mer tungvindt.
Vi øker lista litt og fortsetter med algebraforenklinger

$ \hspace{1cm}
\frac{\sqrt{8-4\sqrt{3\,}\,}}{\sqrt[3]{12\sqrt{3\,}-20\,}\,}
$

Et hint er at uttrykket kan skrives på formen $2^m$, $m \in \mathbb{R}$.

Opphøyer hele uttrykket i 6 og får brøken

$\frac{1664-960\sqrt{3}}{832-480\sqrt{3}}=2$. Altså er uttrykket lik $2^{\frac16}$

[Brahmagupta]

Eventuelt kan man gjenkjenne at [tex]8-4\sqrt3=2(\sqrt3-1)^2[/tex] og at [tex]12\sqrt3-20=2(\sqrt3-1)^3[/tex].

[Aleks855]

Eventuelt kan man gjenkjenne at [tex]8-4\sqrt3=2(\sqrt3-1)^2[/tex] og at [tex]12\sqrt3-20=2(\sqrt3-1)^3[/tex].

Tror jeg har noen igjen år før jeg gjør slike gjenkjenninger.

[Nebuchadnezzar]

Jeg likte løsningen med å legge merke til at

$ \hspace{1cm}
(8 - 4\sqrt 3)^{\large \color{#c00}3} =\, ((\sqrt 6 - \sqrt 2)^{\large \color{#0a0}2})^{\large \color{#c00}3} =\, ((\sqrt 6 - \sqrt 2)^{\large \color{#c00}3})^{\large \color{#0a0}2} =\, 2\, (12\sqrt 3 - 20)^{\large \color{#0a0}2}
$

Ellers er vel løsningen til Plutarco den mest vanlige. Alex mye av det her koker ned til å kjenne igjen at
$(a + \sqrt{b})^n = c_n + d_n \sqrt{b}$ hvor $a$, $b$ er konstanter og $c_n$ og $d_n$ er avhengig av $n\in\mathbb{N}$.
Så det holder å se på potenser av røttene til "noe" faller ut.

${\sqrt{8-4\sqrt3}\over\sqrt[3]{-20+12\sqrt3}}
={\left(8-4\sqrt3\right)^{1/2}\over\left(-20+12\sqrt3\right)^{1/3}}
={\left(8-4\sqrt3\right)^{3/6}\over\left(-20+12\sqrt3\right)^{2/6}}
=\left(\left(8-4\sqrt3\right)^3\over\left(-20+12\sqrt3\right)^2\right)^{1/6}
=\left( {1664-960\sqrt3}\over{832-480\sqrt3} \right)^{1/6}
=2^{1/6}$