VGS-nøtt; polynomrøtter
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
-
Gjest
Hva er det jeg gjør feil?ettam skrev:Siden polynomet er av andregrad vil summen av røttene være lik x-verdien til ekstremalpunktet.
Dette gir (har derivert polynoemt og satt inn):
[tex]4(r_1+r_2)-32 = 0[/tex]
[tex]r_1 + r_2 = 8[/tex]
$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2} - 4ac}{2a}$
$r_1 + r_2$ gjør at kvadratroten forsvinner, og vi får:
$r_1 + r_2 = 2 \cdot \frac{-b}{2a} = \frac{32}{2} = 16$
Svaret er 16. Forstår ikke argumentet ditt, ettam - leste du oppgaven rett? "Gjest" har nok en riktig tankegang, men husk at rottegnet i [tex]ABC[/tex]-formelen inkluderer [tex]-4ac[/tex]-leddet (du vet det nok, men lett å slurve i tex-koden 
).
En annen løsning, som er meget kjekk å kunne, er å "se svaret direkte". Summen av røttene til et [tex]n[/tex]-tegradspolynom er [tex]r_1+r_2+ \cdots r_n= - \frac{b}{a}[/tex] der [tex]a[/tex] er koefisienten til [tex]x[/tex]-leddet av høyest grad, her [tex]2[/tex], og [tex]b[/tex] er koefisienten til [tex]x[/tex]-leddet av nest høyest grad, her [tex]-32[/tex].
I praksis betyr dette at når du ser et andregradspolynom, f.eks. det over, vet du med en gang at summen av røttene er minus tallet forran [tex]x[/tex]-leddet, delt på tallet foran [tex]x^2[/tex]-leddet. I oppgaven over får vi da [tex]r_1+r_2=- \frac{-32}{2} =16[/tex]. Et lite bevis for denne setningen (for andregradspolynomer) går slik:
Et generelt andregradspolynom har formen [tex]p(x)=ax^2+bx+c[/tex]. Fra nullpunktsformelen har vi at vi også kan skrive dette polynomet som
[tex]p(x)=a(x-r_1)(x-r_2)[/tex]
[tex]p(x)=a(x^2-r_2x-r_1x+r_1 \cdot r_2)[/tex]
[tex]p(x)=ax^2[/tex] [tex]-a(r_1+r_2)x[/tex] [tex]+a(r_1 \cdot r_2)[/tex]
Hvis vi sammenlikner dette siste uttrykket med vårt opprinnelige, [tex]ax^2+[/tex] [tex]bx[/tex] +[tex]c[/tex], ser vi at vi har sammenhengen:
[tex]bx=-a(r_1+r_2)x[/tex]
[tex]r_1+r_2=- \frac{b}{a}[/tex]
Tilsvarende får vi en sammenheng for produktet av røttene når vi ser på det siste leddet:
[tex]c=a(r_1 \cdot r_2)[/tex]
[tex]r_1 \cdot r_2 = \frac{c}{a}[/tex]
Merk at for et polynom av grad [tex]n[/tex], er produktet av alle røttene [tex]\frac{z}{a}[/tex] når [tex]n[/tex] er partall, og [tex]- \frac{z}{a}[/tex] når [tex]n[/tex] er oddetall. Her er [tex]z[/tex] konstantleddet ("det siste leddet, uten [tex]x[/tex]").
Med andre ord kan en raskt finne summen og produktet av røttene til et polynom, spesielt polynomer av så lav grad som 2. Og når vi kjenner produktet og summen av to tall - ja da kan vi finne selve tallene også. Ofte er dette mye raskere enn å bruke [tex]ABC[/tex]-formelen. Har vi f.eks. [tex]f(x)=x^2+2x+1[/tex], er røttene de to tallene som danner summen [tex]-2[/tex] og produktet [tex]1[/tex]. En ser med en gang da at [tex]r_1=r_2=-1[/tex], ettersom [tex]-1+(-1)=-2[/tex] og [tex](-1) \cdot (-1)=1[/tex].
).En annen løsning, som er meget kjekk å kunne, er å "se svaret direkte". Summen av røttene til et [tex]n[/tex]-tegradspolynom er [tex]r_1+r_2+ \cdots r_n= - \frac{b}{a}[/tex] der [tex]a[/tex] er koefisienten til [tex]x[/tex]-leddet av høyest grad, her [tex]2[/tex], og [tex]b[/tex] er koefisienten til [tex]x[/tex]-leddet av nest høyest grad, her [tex]-32[/tex].
I praksis betyr dette at når du ser et andregradspolynom, f.eks. det over, vet du med en gang at summen av røttene er minus tallet forran [tex]x[/tex]-leddet, delt på tallet foran [tex]x^2[/tex]-leddet. I oppgaven over får vi da [tex]r_1+r_2=- \frac{-32}{2} =16[/tex]. Et lite bevis for denne setningen (for andregradspolynomer) går slik:
Et generelt andregradspolynom har formen [tex]p(x)=ax^2+bx+c[/tex]. Fra nullpunktsformelen har vi at vi også kan skrive dette polynomet som
[tex]p(x)=a(x-r_1)(x-r_2)[/tex]
[tex]p(x)=a(x^2-r_2x-r_1x+r_1 \cdot r_2)[/tex]
[tex]p(x)=ax^2[/tex] [tex]-a(r_1+r_2)x[/tex] [tex]+a(r_1 \cdot r_2)[/tex]
Hvis vi sammenlikner dette siste uttrykket med vårt opprinnelige, [tex]ax^2+[/tex] [tex]bx[/tex] +[tex]c[/tex], ser vi at vi har sammenhengen:
[tex]bx=-a(r_1+r_2)x[/tex]
[tex]r_1+r_2=- \frac{b}{a}[/tex]
Tilsvarende får vi en sammenheng for produktet av røttene når vi ser på det siste leddet:
[tex]c=a(r_1 \cdot r_2)[/tex]
[tex]r_1 \cdot r_2 = \frac{c}{a}[/tex]
Merk at for et polynom av grad [tex]n[/tex], er produktet av alle røttene [tex]\frac{z}{a}[/tex] når [tex]n[/tex] er partall, og [tex]- \frac{z}{a}[/tex] når [tex]n[/tex] er oddetall. Her er [tex]z[/tex] konstantleddet ("det siste leddet, uten [tex]x[/tex]").
Med andre ord kan en raskt finne summen og produktet av røttene til et polynom, spesielt polynomer av så lav grad som 2. Og når vi kjenner produktet og summen av to tall - ja da kan vi finne selve tallene også. Ofte er dette mye raskere enn å bruke [tex]ABC[/tex]-formelen. Har vi f.eks. [tex]f(x)=x^2+2x+1[/tex], er røttene de to tallene som danner summen [tex]-2[/tex] og produktet [tex]1[/tex]. En ser med en gang da at [tex]r_1=r_2=-1[/tex], ettersom [tex]-1+(-1)=-2[/tex] og [tex](-1) \cdot (-1)=1[/tex].
Antar du mener at snittet av røttene er lik x-verdien til ekstremalverdien, pga. symmetrien til andregradspolynomer. Da blir det også riktig svar.ettam skrev:Siden polynomet er av andregrad vil summen av røttene være lik x-verdien til ekstremalpunktet.
Dette gir (har derivert polynoemt og satt inn):
[tex]4(r_1+r_2)-32 = 0[/tex]
[tex]r_1 + r_2 = 8[/tex]