![Wink :wink:](./images/smilies/icon_wink.gif)
$\int \frac{x^2 \arctan{x}}{1+x^2}dx$
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
$y \log{x} = y \int_1^x \frac{1}{t}dt = \int_1^x \frac{y t^{y-1}}{t^y}dt = [\log{t^y}]_1^x = \log{x^y}$Nebuchadnezzar skrev: Oppgave: En definisjon av logaritmefunksjonen er gitt som følger
$ \displaystyle
\log x = \int_1^x \frac{1}{t}\,\mathrm{d}t
$
Bruk definisjonen ovenfor til å vise at identitetene $\log x^y = y \log x$ og $\log xy = \log x + \log y$ holder.
Her antas det selvsagt at $x$ og $y$ er reelle positive tall.
Charlatan skrev:Her er et nytt integral:
[tex]\int^{\frac{\pi}{2}}_0 \frac{1}{1+(\tan x)^{\sqrt{2}}}dx[/tex]
Nebuchadnezzar skrev:Charlatan skrev:Her er et nytt integral:
[tex]\int^{\frac{\pi}{2}}_0 \frac{1}{1+(\tan x)^{\sqrt{2}}}dx[/tex]
$$
\int_0^{\pi/2} \frac{ \mathrm{d}x }{ 1 + \tan(x)^{\sqrt{2} } } = \frac{1}{2} \left( \frac{\pi}{2} \right) = \frac{ \pi }{4}
$$
god gammal integrasjonsoppgave (ubestemt);Nebuchadnezzar skrev:Tar en diskre dobbelpost her, alle tre kan løses med samme fremgangsmåte.
$
\begin{align*}
I_A & = \int_0^{\pi/2} \frac{\cos x}{\sin x + \cos x}\,\mathrm{d}x \\
\end{align*}
$
kan løses med tabulator integrasjon, sjøl om det er traktor-jobb, fikk da:Nebuchadnezzar skrev:Tar en diskre dobbelpost her, alle tre kan løses med samme fremgangsmåte.
$\begin{align*} I_B & = \int_0^{\pi} x ( \cos x )^4\,\mathrm{d}x \\
\end{align*}$
Det anbefales å bruke $x \mapsto a - b - u$. Merk at dette ikke nødvendigvis gjør hele jobben =)