Derivasjon av trigonometriske funsjoner

[Skyer og bær]

sliter med å derivere tan^2x , altså (tan x)^2

Noen som kunne forklart hvordan jeg skal gjøre dette og vist fremgangsmåten?

[Emilga]

Du kan jo f.eks. skrive om $ \tan^2x = \frac{\sin^2x}{\cos^2x}$, og så derivere ved å bruke kvotient-regelen (brøk-regelen).

[Skyer og bær]

Jaa det er sant!
Gjorde det .. meen har fortsatt et problem.. skjønner ikke hva jeg skal gjøre om jeg skal derivere cos^2x eller sin^2x ..
noen som vil forklare?

[Realist1]

Jaa det er sant!
Gjorde det .. meen har fortsatt et problem.. skjønner ikke hva jeg skal gjøre om jeg skal derivere cos^2x eller sin^2x ..
noen som vil forklare?

[tex]\sin ^2 (x) = (\sin x) \cdot (\sin x)[/tex]

Du har lært produktregelen?

[Skyer og bær]

jepp prøvde det, men får feil svar allikavel

Svaret på oppgaven er :
- sinx cos(cos x)

Jeg får en brøk med noe et tangens ledd osv..

skjønner ikke hva jeg gjør feil atm..

vil noen kjapt vise hvordan man løser oppgaven?

[Realist1]

vil noen kjapt vise hvordan man løser oppgaven?

Tja...

[tex]\tan ^2 (x) = \frac{\sin ^2 (x)}{\cos ^2 (x)} = \frac{\left( \sin (x) \right) \left( \sin (x) \right)}{\left( \cos (x) \right) \left( \cos (x) \right)}[/tex]

Setter:
[tex]u = \sin (x) \cdot \sin (x)[/tex]

[tex]v = \cos (x) \cdot \cos (x)[/tex]

Da blir:
[tex]u' = \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) = \underline{2 \sin (x) \cos (x)}[/tex]

[tex]v' = \cos (x) \cdot \left( - \sin (x) \right) + \left( - \sin (x) \right) \cdot \cos (x) = \underline{- 2 \sin (x) \cos (x)}[/tex]


[tex]f(x) = \frac{u}{v}[/tex]


[tex]f'(x) = \frac{u'v - uv'}{v^2} = \frac{2 \sin (x) \cos (x) \cdot \cos (x) \cdot \cos (x) \, - \, \sin (x) \cdot \sin (x) \cdot \left( - 2 \sin (x) \cos (x) \right)}{\cos (x) \cdot \cos (x) \cdot \cos (x) \cdot \cos (x)} = \frac{2 \sin (x) \cos (x) \cdot \cos (x) \cdot \cos (x) \, + \, \sin (x) \cdot \sin (x) \cdot 2 \sin (x) \cos (x)}{\cos (x) \cdot \cos (x) \cdot \cos (x) \cdot \cos (x)}[/tex]

Dette er kanskje litt tungvint skrevet, men det er for at du lett skal kunne se hva som kan trekkes ut, strykes, etc...
Vi fortsetter:

[tex]f'(x) = \frac{2 \sin (x) \cos (x) \cdot \left( \sin ^2 (x) + \cos ^2 (x) \right)}{\cos (x) \cdot \cos (x) \cdot \cos (x) \cdot \cos (x)} = \frac{2 \sin (x) \cancel{\cos (x)} \cdot 1}{\cos (x) \cdot \cos (x) \cdot \cos (x) \cdot \cancel{\cos (x)}}[/tex]

Denne siste brøken kan skrives lettere som:

[tex]f'(x) = 2 \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos ^2 (x)} = \underline{\underline{\frac{2 \tan (x)}{\cos ^2 (x)}}}[/tex]

Forøvrig også kjent som [tex]2 \tan (x) \sec ^2 (x)[/tex] men man lærer vel ikke om sec-funksjonen (1/cos) i norsk VGS...

Håper du fulgte uten at det ble for komplisert!

[Skyer og bær]

åå tusen takk! nå skjønte jeg det!

Svaret står litt annerledes i fasiten, men fant ut at det bare er forenklet litt mer der

[Realist1]

åå tusen takk! nå skjønte jeg det!

Svaret står litt annerledes i fasiten, men fant ut at det bare er forenklet litt mer der

Forenklet mer? Enn mitt svar? Hvordan?

Forøvrig er jeg spent på hvordan de fikk svaret:

Svaret på oppgaven er :
- sinx cos(cos x)

[Skyer og bær]

Ok, kanskje litt mindre forenklet
sto 2sinx/cos^3x i fasiten..

Svaret -sin cos(cos x) skjønner ikke jeg hvor jeg fikk fra, tror det er svaret til en annen oppgave, må ha sett feil