Ulikhet igjen

[Gustav]

La k og n være positive heltall. Vis at $\frac{1}{k+1}n^{k+1}<1^k+2^k+3^k+\cdots + n^k$.

[Brahmagupta]

Ved induksjon på n:
Det er lett å se at påstanden er sann for n=1:

Antar at den er sann for en gitt n og skal vise at det medfører at den er sann for n+1:

[tex]\sum_{i=1}^{n+1}i^k>\frac{n^{k+1}}{k+1}+(n+1)^k[/tex]

Må vise at [tex]\frac{n^{k+1}}{k+1}+(n+1)^k>\frac{(n+1)^{k+1}}{k+1}[/tex]

Dette forenkles til [tex]n^{k+1}+(k+1)(n+1)^k>(n+1)^{k+1}[/tex]

[tex]n^{k+1}+(k+1)\sum_{j=0}^k\binom{k}{j}n^{k-j}>\sum_{j=0}^{k+1}\binom{k}{j}n^{k+1-j}[/tex]

Her strykes det første leddet på hver side, viser så at for hvert par av ledd av samme grad så er
koeffisienten på venstre side større eller lik den på høyre side.

[tex](k+1)\binom{k}{j}\geq\binom{k+1}{j+1}=\binom{k}{j}+\binom{k}{j+1}[/tex]

[tex]k\binom{k}{j}\geq \binom{k}{j+1}[/tex]

Ved å sette inn for binomialkoeffisientene får man at [tex]kj^2\geq 0[/tex] som åpenbart er sant siden k er positiv.
Her kan alle ledd reverseres så det følger at ulikheten er sann.
Det er i tillegg likhet for j=0. Dermed er induksjonshypotesen fullført og ulikheten er bevist.

Skal prøve meg på de andre nøttene i morgen Mindre tid til slikt når det nærmer seg eksamen!

Edit: retta opp noe slurv.