Finn alle positive heltall $x,y$ som tilfredsstiller ligningen
\begin{equation*}
1+x(x+1)(x+2)(x+3)=y^2
\end{equation*}
Finn heltallige løsninger
Moderators: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
-
Solar Plexsus
- Over-Guru
- Posts: 1686
- Joined: 03/10-2005 12:09
Den diofantiske likningen
$(1) \;\; 1 + x(x+1)(x+2)(x+3) = y^2$
kan via substitusjonen $a = x + \frac{3}{2}$ omformes til
$(2) \;\; y^2 = 1 + (a - \frac{3}{2})(a - \frac{1}{2})(a + \frac{1}{2})(a + \frac{3}{2}) = 1 + (a^2 - \frac{9}{4})(a^2 - \frac{1}{4}) = a^4 - \frac{5}{2}a^2 + \frac{25}{16} = (a^2 - \frac{5}{4})^2.$
Nå er
$(3) \;\; a^2 - \frac{5}{4} = (x + \frac{3}{2})^2 - \frac{5}{4} = x^2 + 3x + 1$.
Ved å kombinere (2) og (3), får vi at den generelle løsningen av (1) er
$x= n, \: y = \pm (n^2 + 3n + 1)$,
der $n$ er et vilkårlig heltall.
$(1) \;\; 1 + x(x+1)(x+2)(x+3) = y^2$
kan via substitusjonen $a = x + \frac{3}{2}$ omformes til
$(2) \;\; y^2 = 1 + (a - \frac{3}{2})(a - \frac{1}{2})(a + \frac{1}{2})(a + \frac{3}{2}) = 1 + (a^2 - \frac{9}{4})(a^2 - \frac{1}{4}) = a^4 - \frac{5}{2}a^2 + \frac{25}{16} = (a^2 - \frac{5}{4})^2.$
Nå er
$(3) \;\; a^2 - \frac{5}{4} = (x + \frac{3}{2})^2 - \frac{5}{4} = x^2 + 3x + 1$.
Ved å kombinere (2) og (3), får vi at den generelle løsningen av (1) er
$x= n, \: y = \pm (n^2 + 3n + 1)$,
der $n$ er et vilkårlig heltall.