Grei ulikhet

[Gustav]

Vis at

[tex]\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{4}\cdot \frac{5}{6}\cdots \frac{99}{100}<\frac{1}{10}[/tex]

Eller mer generelt

[tex]\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{4}\cdot \frac{5}{6}\cdots \frac{n^2-1}{n^2}<\frac{1}{n}[/tex] for like heltall n.

EDIT: Måtte endre litt på oppgaven siden det jeg opprinnelig hadde tenkt ut bare ble rot...

[Brahmagupta]

Her må det vel være noe feil, ulikheten holder vel ikke for noen n.

[Gustav]

Her må det vel være noe feil, ulikheten holder vel ikke for noen n.

Ah, beklager. Skal rette opp..

[Aleks855]

Kanskje oppgaven skulle vært "bevis at følgende ulikhet ikke stemmer for noen n"

[Brahmagupta]

Lar
[tex]a = \frac12\cdot\frac34\cdot\frac56\cdot...\cdot\frac{n-1}{n}[/tex]

[tex]b = \frac23\cdot\frac45\cdot\frac67\cdot...\cdot\frac{n}{n+1}[/tex]

Siden [tex]\frac{i-1}{i}<\frac{i}{i+1}[/tex] følger det at b>a

Videre er

[tex]a^2<ab=\frac1{n+1}[/tex]

[tex]a<\frac1{sqrt{n+1}}[/tex]

Setter n=100:

[tex]\frac12\cdot\frac34\cdot...\cdot\frac{99}{100}<\frac1{\sqrt{101}}<\frac1{10}[/tex]

Det motsatte av den forrige ulikheten holder

Ved induksjon: for n=2 så er [tex]\frac12>\frac14[/tex]

Antar den er sann for n=k da er:

[tex]\frac12\cdot \frac34\cdot ...\cdot\frac{k-1}{k}\cdot \frac{k+1}{k+2} > \frac1{k^2}\cdot\frac{k+1}{k+2}[/tex]

[tex]> \frac1{k^2}\cdot\frac{k^2}{(k+2)^2}=\frac1{(k+2)^2}[/tex]

Siden [tex]\frac{k+1}{k+2}>(\frac{k}{k+2})^2[/tex]

Og det følger at den er sann for n=k+2. Og dermed for alle partall n.

[Brahmagupta]

Oppfølger:

Vis at [tex]\sum_{i=1}^{100}\frac1{\sqrt{i}} < 20[/tex]

[Gustav]

Oppfølger:

Vis at [tex]\sum_{i=1}^{100}\frac1{\sqrt{i}} < 20[/tex]

Det er veldig lett å se at dette stemmer ved å bruke at summen er mindre enn arealet under kurven [tex]f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}[/tex], men antar du vil ha en løsning uten bruk av integrasjon?

[Brahmagupta]

Ja, hadde en løsning uten integrasjon i tankene.

[Gustav]

Bevis ved induksjon. Vi ønsker å vise at

[tex]\sum_{i=1}^n \frac{1}{\sqrt{i}}<2\sqrt{n}[/tex] for positive heltall n.

Siden 1<2 stemmer det for n=1.

Anta at ulikheten stemmer for en positiv n. Da er

[tex]\sum_{i=1}^{n+1} \frac{1}{\sqrt{i}}<2\sqrt{n}+\frac{1}{\sqrt{n+1}}[/tex].

Det vi trenger å vise er at

[tex]2\sqrt{n}+\frac{1}{\sqrt{n+1}}<2\sqrt{n+1}[/tex]. Ganger med [tex]\sqrt{n+1}[/tex] og vi får at ulikheten er ekvivalent med

[tex]2\sqrt{n(n+1)}<2n+1[/tex].

Kvadrerer og får at dette er det samme som 4n(n+1) < 4n^2+4n+1, altså at 0<1.

Ulikheten gjelder altså for alle positive n og spesielt for n=100, som gir ulikheten vi skal vise.

[Gustav]

Ny oppfølger

La $a$,$b$,$c$ være positive reelle tall slik at $a+b+c=1$.

Finn største mulige M slik at

\begin{equation}
(\frac{1}{a}-1)(\frac{1}{b}-1)(\frac{1}{c}-1)\geq M
\end{equation}

[Brahmagupta]

Ved AM-HM, altså det aritmetiske snittet er større enn det harmoniske snittet, følger det at:
[tex](a+b+c)(\frac1{a}+\frac1{b}+\frac1{c}) \geq 3^2[/tex]

Og dermed [tex]\frac1{a}+\frac1{b}+\frac1{c}\geq 9[/tex] som har likhet ved [tex]a=b=c=\frac13[/tex]

Skal finne største M slik at [tex](\frac1{a}-1)(\frac1{b}-1)(\frac1{c}-1)\geq M[/tex] holder for alle a,b,c slik at [tex]a+b+c=1[/tex]

Ulikheten er ekvivalent med [tex](1-a)(1-b)(1-c)\geq Mabc[/tex]
Ganger ut og bruker at summen av variablene er lik 1:
[tex]ab+bc+ac\geq (M+1)abc[/tex]
[tex]\frac1{a}+\frac1{b}+\frac1{c}\geq M+1[/tex]

Fra den første ulikheten ses det at ulikheten holder for M lik 8, det kan heller ikke finnes noen større M siden det er likhet når variablene tar samme verdi,
så M må være lik 8.