Trigonometrisk ligning

[Gustav]

Hvor mange løsninger har ligningen

[tex]\sin(x)=\frac{x}{N}[/tex] hvor N er et gitt positivt heltall.

[Hoksalon]

For N = 1, vil den deriverte i x=0 være 1 på begge sider, og det er klart at dette bare har en løsning.

Vi må undersøke for hvilke N som skjærer den andre perioden i g(x), da dette vil implisere at det eksisterer minst fem løsninger.

[tex]g(x) = sin(x) \,\,\, f(x) = \frac{x}{N}[/tex]

I følgende ligning vil f(x) tanger den andre perioden til g(x) i toppunktet.
[tex]f(\frac{5\pi}{2})=\frac{5\pi}{2N} = 1[/tex] (toppunkt i 5pi/2)

[tex]N = \frac{5\pi}{2} [/tex]
For alle heltallige N i intervallet [tex]N \in (1, \frac{5\pi}{2}][/tex] så vil det være tre løsninger.

Vi kan generalisere det ned til ligningen
[tex]f(\frac{\pi + 4\pi \cdot k}{2}) = \frac{\pi+4\pi \cdot k}{2N} = 1[/tex] som vil ha 2k+1 løsninger.. Denne likheten vil aldri oppstå, siden N er et heltall, men vi kan bruke dette til å se at [tex]N \in (\frac{\pi+4\pi \cdot k}{2},\frac{\pi+4\pi \cdot (k+1)}{2})[/tex] vil ha 2k+3 løsninger for heltallige N. De eneste unntakene er [tex]N \in (1,\frac{5\pi}{2})[/tex], som har tre løsninger, og N = 1, som har bare en løsning.

Jeg føler mye av dette kanskje er mer eller mindre geometriske observasjoner, så beviset er kanskje ikke perfekt.

[Gustav]

Ok, jeg lurer på om du har glemt de negative løsningene?

F.eks. vil N=7 gi 5 løsninger ifølge mine beregninger. Klarer du å uttrykke antall løsninger på en lukket form uten bruk av k, men som funksjon av N dersom du benytter gulvfunksjonen?

[Hoksalon]

Jeg hadde de i hodet når jeg skrev løsningen, jeg lover!

Jeg er for trøtt til å lage en fullstendig løsning, akkurat nå. Skal gjøre det i norsktimen imorgen tidlig

[Gustav]

Jeg er for trøtt til å lage en fullstendig løsning, akkurat nå. Skal gjøre det i norsktimen imorgen tidlig :P

Godt å høre at du bruker norsktimene fornuftig:)

[Hoksalon]

Det skal selvfølgelig bare stå 4k+3 i stedet for 2k+3. Det er fordi at linjen vil skjære hver bølge i to punkter , som er symmetrisk om y-aksen. Det ville bare eksistert 4k+1 skjæringspunkter om N hadde vært irrasjonalt, noe det som sagt ikke er. De tre skjæringspunktene kommer av at f(x) skjærer sinuskurven i origo, og den første bølgen både til høyre og venstre for y-aksen.

I tillegg glemte jeg symmetrien i ligningen med likhet hvor jeg skrev at det var 2k+1 løsninger. Det er 4k+1 løsninger.

EDIT: Og unntaket er N = 1