Hvordan kan jeg finne ut dette og hvordan grafen ser ut?
Konveks og konkav graflinje
Moderators: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga
En funksjon er konveks hvis krummer som er smil, da er den dobbeltderiverte større enn null.
En funksjon er konkav hvis den krummer som et surt fjes, da er den dobbeltderiverte mindre enn null.
Et punkt x = c, der funksjonen skifter krumning fra opp til ned eller motsatt, kalles et vendepunkt for f, dvs funksjonen har et vendepunkt der f''(x) = 0, hvis den dobbeltderiverte skifter fortegn der.
$f"(x) = e^{x*x} = e^{x^2} > 0$ for alle x, så f(x) er alltid konveks, og den har ingen vendepunkter da f"(x) aldri er null.
En funksjon er konkav hvis den krummer som et surt fjes, da er den dobbeltderiverte mindre enn null.
Et punkt x = c, der funksjonen skifter krumning fra opp til ned eller motsatt, kalles et vendepunkt for f, dvs funksjonen har et vendepunkt der f''(x) = 0, hvis den dobbeltderiverte skifter fortegn der.
$f"(x) = e^{x*x} = e^{x^2} > 0$ for alle x, så f(x) er alltid konveks, og den har ingen vendepunkter da f"(x) aldri er null.
[tex]f"(x) = x \cdot e^x[/tex] har to faktorer, den ene er [tex]e^x[/tex] som alltid er positiv, den andre er x, som nødvendigvis er mindre enn null for x < 0 og større enn null for x > 0. Her gjør x= 0 at f"(x) = 0, og siden f"(x) skifter fortegn i x = 0, så er dette et vendepunkt.
Kombinerer du dette med det jeg fortalte i forrige innlegg så er f(x) konveks når f"(x) > 0, dvs når x> 0, og konkav når f"(x) < 0, dvs når x < 0.
Lag graf av f"(x) så du ser hvordan dens fortegn varierer med x.
Kombinerer du dette med det jeg fortalte i forrige innlegg så er f(x) konveks når f"(x) > 0, dvs når x> 0, og konkav når f"(x) < 0, dvs når x < 0.
Lag graf av f"(x) så du ser hvordan dens fortegn varierer med x.
Siden f(x) ikke er gitt så er det nok det de ber deg å gjøre. Først en konkav bue på skrå ned til x= 0 null, så et vendepunkt i null, og deretter konveks bue bue opp fra x = 0.
For de som kan integrasjon, så kan man integrere denne funksjonen to ganger, slik at man finner både f'(x) og f(x). Da får man:
f(x) = (x-2)*e^x
f'(x) = (x-1)e^x
Så kan man drøfte den deriverte. Vi ser den blir null for x = 1,
så f(x) har maks/min for x=1. Ved å sette opp fortegnsskjema for f'(x)
x ----------------------------(x=1)------------------------
e^x + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
(x-1) - - - - - - - - - - - - - - 0 + + + + + + + + + +
f'(x) - - - - - - - - - - - - - - -0 + + + + + + + + + +
.............avtagende........\_/.........stigende
Dvs f(x) har et minimumspunkt i x = 1
Tilsvarende drøfting for f"(x) gir:
x ----------------------------(x=0)-----------------------
e^x + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
x - - - - - - - - - - - - - - - - - 0 + + + + + + + + + +
f"(x) - - - - - - - - - - - - - - -0 + + + + + + + + + +
..................konkav........¯\_........konveks
For de som kan integrasjon, så kan man integrere denne funksjonen to ganger, slik at man finner både f'(x) og f(x). Da får man:
f(x) = (x-2)*e^x
f'(x) = (x-1)e^x
Så kan man drøfte den deriverte. Vi ser den blir null for x = 1,
så f(x) har maks/min for x=1. Ved å sette opp fortegnsskjema for f'(x)
x ----------------------------(x=1)------------------------
e^x + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
(x-1) - - - - - - - - - - - - - - 0 + + + + + + + + + +
f'(x) - - - - - - - - - - - - - - -0 + + + + + + + + + +
.............avtagende........\_/.........stigende
Dvs f(x) har et minimumspunkt i x = 1
Tilsvarende drøfting for f"(x) gir:
x ----------------------------(x=0)-----------------------
e^x + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
x - - - - - - - - - - - - - - - - - 0 + + + + + + + + + +
f"(x) - - - - - - - - - - - - - - -0 + + + + + + + + + +
..................konkav........¯\_........konveks