Finn alle heltall a,b,c slik at
[tex](2a+b)(2b+a)=5^c[/tex]
Tallsammenheng
Moderators: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
-
Solar Plexsus
- Over-Guru
- Posts: 1686
- Joined: 03/10-2005 12:09
Siden [tex]a[/tex] og [tex]b[/tex] er heltall, må
[tex](1) \; 5^c = (2a + b) (2b + a)[/tex]
være et heltall. M.a.o. er [tex]c \geq 0[/tex].
Av (1) og det faktum at 5 er et primtall følger at [tex]2a + b = \pm 5^i[/tex] og [tex]2b + a = \pm 5^{c-i}[/tex] for et ikke-negativt heltall [tex]i \, \leq \, c.[/tex] Dermed blir
[tex](2) \; a \:=\: \pm \frac{2 \cdot 5^{c-i} - 5^i}{3},[/tex]
[tex](3) \; b \:=\: \pm \frac{2 \cdot 5^i - 5^{c-i}}{3}.[/tex]
For at [tex]a[/tex] og [tex]b[/tex] skal være heltall, må [tex]5^i + 5^{c-i}[/tex] være delelig med 3. Altså må [tex](-1)^i + (-1)^{c-i}[/tex] være delelig med 3, hvilket innebærer at [tex](-1)^i + (-1)^{c-i} = 0.[/tex] M.a.o. må [tex]i[/tex] være et oddetall og [tex]c - i[/tex] være et partall, eller vica verca, dvs. at [tex]i + (c - i) = c[/tex] må være et oddetall.
Konklusjon: Likningen (1) er kun løsbar når [tex]c[/tex] er et positivt oddetall, og da er løsningen av (1) gitt ved formlene (2)-(3) der [tex]0 \, \leq \, i \, \leq \, c.[/tex]
[tex](1) \; 5^c = (2a + b) (2b + a)[/tex]
være et heltall. M.a.o. er [tex]c \geq 0[/tex].
Av (1) og det faktum at 5 er et primtall følger at [tex]2a + b = \pm 5^i[/tex] og [tex]2b + a = \pm 5^{c-i}[/tex] for et ikke-negativt heltall [tex]i \, \leq \, c.[/tex] Dermed blir
[tex](2) \; a \:=\: \pm \frac{2 \cdot 5^{c-i} - 5^i}{3},[/tex]
[tex](3) \; b \:=\: \pm \frac{2 \cdot 5^i - 5^{c-i}}{3}.[/tex]
For at [tex]a[/tex] og [tex]b[/tex] skal være heltall, må [tex]5^i + 5^{c-i}[/tex] være delelig med 3. Altså må [tex](-1)^i + (-1)^{c-i}[/tex] være delelig med 3, hvilket innebærer at [tex](-1)^i + (-1)^{c-i} = 0.[/tex] M.a.o. må [tex]i[/tex] være et oddetall og [tex]c - i[/tex] være et partall, eller vica verca, dvs. at [tex]i + (c - i) = c[/tex] må være et oddetall.
Konklusjon: Likningen (1) er kun løsbar når [tex]c[/tex] er et positivt oddetall, og da er løsningen av (1) gitt ved formlene (2)-(3) der [tex]0 \, \leq \, i \, \leq \, c.[/tex]