Kvadratkuriositeter
Moderators: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Er det noen som har interesse av å finne to kvadrat-tall der forskjellen inneholder samtlige sifre fra 1 til 9, altså hvert av sifrene bare en gang. Hvor mange tall-par finnes det i denne kategorien., Jeg vet om to, men finnes det flere?
Last edited by LAMBRIDA on 10/03-2013 18:15, edited 1 time in total.
Litt usikker på hva du mener. Tenker du på to tall slik at [tex]n_1^2 - n_2^2 = 123456789[/tex] for eksempel?
Eksempel:
93^2-14^2= 8453
Det gjelder altså å finne de riktige tall-parene her, slik at forskjellen inneholder samtlige sifrene fra 1 til 9 i svaret.,Kanskje har du forstått det slik som jeg har skrevet det i eksemplet og.
93^2-14^2= 8453
Det gjelder altså å finne de riktige tall-parene her, slik at forskjellen inneholder samtlige sifrene fra 1 til 9 i svaret.,Kanskje har du forstått det slik som jeg har skrevet det i eksemplet og.
Men i første post skriver du at hvert siffer bare skal dukke opp EN gang. Teller vi med eksponentene her?
Hvis ja, så dukker 2 opp to ganger i eksemplet ditt.
Hvis nei, så dukker 2 opp ingen ganger.
Hvis ja, så dukker 2 opp to ganger i eksemplet ditt.
Hvis nei, så dukker 2 opp ingen ganger.
-
Brahmagupta
- Guru
- Posts: 628
- Joined: 06/08-2011 01:56
Antar oppgaven er slik som aleks foreslår.
Det er nok å observere at [tex](n+1)^2-n^2 = 2n+1[/tex]
og at [tex](n+2)^2-n^2=4n+4[/tex]
Det vil si at alle oddetall og alle tall delelig på 4 kan skrives som differansen mellom 2 kvadrattall.
Tall kongruent med 2 mod 4 kan ikke det, siden kun 0 og 1 er kvadratiske rester mod 4.
Dermed er det bare kombinasjonene av de 9 sifrene som er kongruent med 2 mod 4 hvor det ikke finnes slike kvadrater. For å avgjøre om et tall er kongruent med 2 mod 4 er det bare å se på de to siste sifrene siden 4 deler 100.
For å finne kvadrattallene til en gitt kombinasjon er det bare å løse ligningene ovenfor for n, avhengig om det er et partall eller oddetall.
For eksempel:
[tex]2n+1 = 123456789[/tex]
gir at n = 61728394 og dermed er
[tex]61728395^2-61728394^2=123456789[/tex]
Det er nok å observere at [tex](n+1)^2-n^2 = 2n+1[/tex]
og at [tex](n+2)^2-n^2=4n+4[/tex]
Det vil si at alle oddetall og alle tall delelig på 4 kan skrives som differansen mellom 2 kvadrattall.
Tall kongruent med 2 mod 4 kan ikke det, siden kun 0 og 1 er kvadratiske rester mod 4.
Dermed er det bare kombinasjonene av de 9 sifrene som er kongruent med 2 mod 4 hvor det ikke finnes slike kvadrater. For å avgjøre om et tall er kongruent med 2 mod 4 er det bare å se på de to siste sifrene siden 4 deler 100.
For å finne kvadrattallene til en gitt kombinasjon er det bare å løse ligningene ovenfor for n, avhengig om det er et partall eller oddetall.
For eksempel:
[tex]2n+1 = 123456789[/tex]
gir at n = 61728394 og dermed er
[tex]61728395^2-61728394^2=123456789[/tex]
Da kan du jo også løse [tex]2n+1 = 987654321[/tex] som gir [tex]n=493827160[/tex].
Dermed er [tex]493827161^2-493827160^2 = 987654321[/tex].
Sånn kan du jo da fortsette med så mange kombinasjoner av 123456789 du ønsker. Eventuelt ville jeg foreslått å gjøre det som en programmeringsutfordring istedet
Dermed er [tex]493827161^2-493827160^2 = 987654321[/tex].
Sånn kan du jo da fortsette med så mange kombinasjoner av 123456789 du ønsker. Eventuelt ville jeg foreslått å gjøre det som en programmeringsutfordring istedet