Vin og ost fest

[Nebuchadnezzar]

Det har vært tilbud på ost og vin, og derfor har du bekalgligvis et latterlig antall kasser vin og ost stående. Derfor bestemmer du deg for å invitere [tex]P[/tex] personer på vin og ost fest.

Sannsynligheten for at en enkelt person dukker opp er [tex]80[/tex]%.
Og det er og 20% sannsynlighet for at en person som kommer, inviterer en venn. Inviterte venner har og 80% sannsynlighet for å dukke opp, og kan invitere nye venner. Innviterte venners, venner kan og invitere nye venner osv.

I) Dersom du ønsker at [tex]D[/tex] personer skal dukke opp på festen, hvor mange personer [tex]P[/tex], må du invitere?

II) Hvor mange personer [tex]P[/tex] må du invitere hvis sannsynligheten for å dukke opp er [tex]A[/tex] og sannsynlighetenen for å invitere en venn er [tex]B[/tex]?

[Audunss]

I) Dersom du ønsker at [tex]D[/tex] personer skal dukke opp på festen, hvor mange personer [tex]P[/tex], må du invitere?

Med dette mener du at det skal være forventet at D personer kommer? Uansett hvor mange du inviterer kan du være sikker op at D personer kommer.

[Nebuchadnezzar]

At det forventede antallet som dukker opp er D ja, rett tolkning.

[fuglagutt]

Litt gammel oppgave, men gir den et forsøk:

Vi bruker funksjonen D = V(P) som det forventede antall personer som vil komme; Med A som sjansen for å komme, B med sjansen for å invitere og P er antall inviterte, der n beskriver hvor langt ut i rekken av venner man er blitt invitert, vil vi når n blir veldig stor få;

[tex]V(P) = AP(1+AB+(AB)^2+....+(AB)^{n-1}[/tex]

Definerer også funksjonen

[tex]AB\cdot V(P) = AP(AB+(AB)^2+....+(AB)^n[/tex]

Slik at:
[tex]V(P)-AB\cdot D(P) = AP(1-(AB)^n)[/tex]

Som igjen gir:

[tex]V(P) = \frac{AP(1-(AB)^n)}{1-AB}[/tex]

Vi antar at
[tex]A\cdot B < 1[/tex]

Og vet at den er større eller lik 0, som gir at for en funksjon[tex]f(n) = (AB)^n[/tex] så er det slik at

[tex]\lim_{n\to\infty}f(n)=0[/tex]

Vi antar nå at for å få det ønskede resultatet er [tex]V(P)[/tex] definert slik at [tex]{n\to\infty}[/tex]

Som gir oss
[tex]V(P) = \frac{AP}{1-AB}[/tex]

Som er løsning for ii)

For å løse i) setter A = 0,8 og B = 0,2:

[tex]V(P) = \frac{0,8P}{0,88} = \frac{P}{1,1}[/tex]

[Nebuchadnezzar]

Ser riktig ut dette =) Vurderte en oppfølger hvor hver person inviterer k venner, men lot den ligge.
Artig oppgave.