Bevis at en isosceles trekant har en rett vinkel

[kauguru1]

Vi får informasjonen at isosceles trekanten x, y, z
har disse egenskapene

x = y

z= [tex]sqrt(2xy)[/tex]

Hvordan gjør jeg dette?

[Brahmagupta]

x,y,z må vel være sidelengdene i den likebeinte trekanten. For å vise at den er rettvinklet må du vise at [tex]z^2=x^2+y^2[/tex]

Det gjenstår bare å manipulere den oppgitte informasjonen til denne ligningen. Merk først uttrykket 2xy under rottegnet i andre ligning, kjenner du igjen dette fra en algebraisk identitet? Hvordan kan dette uttrykket frembringes fra første ligning?

Husk at målet er å ende opp med pytagoras setning.

[kauguru1]

Isosceles betyr vel at to av beina er like lange

altså x = y

men det betyr vel ikke at z er like lang

[Gustav]

Isosceles betyr vel at to av beina er like lange

altså x = y

men det betyr vel ikke at z er like lang

Nei, det er ikke snakk om en likesidet trekant, men en likebent.

En trekant er rettvinklet hvis og bare hvis den oppfyller pytagoras´ setning.

[kauguru1]

så [tex]z^2 = 2xy[/tex]

og x og y = [tex]\frac{z^2}{2x}[/tex] ???

[Gustav]

så [tex]z^2 = 2xy[/tex]

og x og y = [tex]\frac{z^2}{2x}[/tex] ???

Dersom x og y er de to katetene i en rettvinklet trekant, og z er hypotenusen, hva sier så pytagoras?

[kauguru1]

ok

Herfra har jeg nå gjort følgende

[tex]z^2 = 2xy[/tex]

derfor er ved å fylle dette inn i min formel for x og y har vi nå:

y = [tex]\frac{2xy}{2x}[/tex] og samme for x

derfor er [tex]z^2 = (\frac{2xy}{2x})^2 + (\frac{2xy}{2x})^2[/tex]

er dette riktig vei å gå?

[kauguru1]

og om x = y

så er da også xy = [tex]x^2 = y^2[/tex]

[Gustav]

Tror du tenker altfor komplisert her.

Tips:

Vis at [tex]x^2+y^2=z^2[/tex] under betingelsene gitt av oppgaven.

Siden de tre sidene oppfyller Pytagoras er trekanten med sidelengder x,y,z rettvinklet.

[kauguru1]

Nå har det blitt litt for mye her tror jeg ..

ser det ikke altså

[Gustav]

Ikke helt sikker på om du har misforstått noe her, men du må tenke over hva det er du faktisk skal bevise i oppgaven. Vi har en trekant der de tre sidelengdene er oppgitt i oppgaven. Oppgaven er å bevise at denne trekanten er rettvinklet. Som sagt er en trekant rettvinklet kun dersom sidelengdene oppfyller pytagoras lov. Den trekanten som er oppgitt i oppgaven har sider x,y=x og [tex]z=\sqrt{2xy}=\sqrt{2x^2}[/tex]. Det er da klart at [tex]x^2+y^2=z^2[/tex], sjekk ved innsetting av uttrykkene for y og z. Derfor er trekanten nødvendigvis rettvinklet, siden den oppfyller pytagoras lov.