Finn alle [tex]f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}[/tex] slik at
[tex]f(x-f(y))=f(f(y))+xf(y)+f(x)-1[/tex]
for alle x,y i [tex]\mathbb{R}[/tex]
Funksjonalligning
Moderators: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
[tex]f(x-f(y)) = f(f(y) + xf(y) + f(x) - 1[/tex]
f(0) = a, f(y) = x
[tex]f(0) = f(x) + x^2 + f(x) - 1[/tex]
[tex]f(x) = \frac{-x^2+a+1}{2}[/tex]
Vi får ligningen:
[tex]f(0) = \frac{a+1}{2} = a[/tex]
der a = 1
Og det følger at ligningen er
[tex]f(x) = 1 - \frac{x^2}{2}[/tex]
(også prøve på svaret da...)
f(0) = a, f(y) = x
[tex]f(0) = f(x) + x^2 + f(x) - 1[/tex]
[tex]f(x) = \frac{-x^2+a+1}{2}[/tex]
Vi får ligningen:
[tex]f(0) = \frac{a+1}{2} = a[/tex]
der a = 1
Og det følger at ligningen er
[tex]f(x) = 1 - \frac{x^2}{2}[/tex]
(også prøve på svaret da...)
-
Fibonacci92
- Abel
- Posts: 665
- Joined: 27/01-2007 22:55
Her har du vel bare funnet et funksjonsuttrykk for alle [tex]x \in Im(f)[/tex] ? Eller utarbeidet du bare hintet kanskje?:)
-
Vektormannen
- Euler
- Posts: 5889
- Joined: 26/09-2007 19:35
- Location: Trondheim
- Contact:
Im(f) betyr bildet (image) av funksjonen f, kanskje mer kjent som verdimengden.
Elektronikk @ NTNU | nesizer
Det uttrykket du har funnet for f(x) gjelder kun for [tex]x\in Im(f).[/tex]Hoksalon wrote: Vi får ligningen:
[tex]f(0) = \frac{a+1}{2} = a[/tex]
der a = 1
Siden vi ikke vet om [tex]0\in Im(f)[/tex] blir det ikke riktig å konkludere med det du gjør her.
EDIT: jeg tolket Im(f) som definisjonsmengden til f...
Er det ikke implisert i oppgaveteksten at 0 er med i definisjonsmengden til f?
Hvis sistnevnte, observerer vi av likningen at:
1. [tex]y\in D_f \Longrightarrow f(y)\in D_f[/tex]. Også at
2. [tex]\forall x,y\in D_f\; \Longrightarrow x-f(y)\in D_f[/tex].
Fra 1. har vi lov å sette [tex]x = f(y)\;\forall y \in D_f[/tex]. Fra 2. får vi da at [tex]f(y)-f(y) = 0 \in D_f[/tex]. Hurra!
Ser også at [tex]V_f = \{f(y) : y\in D_f\} \subseteq D_f[/tex].
Vi gjør som Hoksalon over: La [tex]x = f(y)[/tex]:
[tex]f(0) = f(x) + xf(x) +f(x) - 1 \;\forall x \in V_f \subseteq D_f[/tex].
Men siden den eneste verdien i definisjonsmengden vi vet om er 0, så prøver vi med x=0. Men har vi lov til dette, siden det da er snakk om å si at [tex]\exists y\in D_f[/tex] slik at [tex]f(y) = 0[/tex]? Her er jeg foreløpig stuck.
Midt i eksamenstiden!plutarco wrote:Er det ingen som får til denne?
Er det ikke implisert i oppgaveteksten at 0 er med i definisjonsmengden til f?
Skal dette da tolkes som [tex]\forall x,y\in D_f \subseteq \mathbb{R}[/tex]?plutarco wrote:f(x) [...] for alle x,y i [tex]\mathbb{R}[/tex]
Hvis sistnevnte, observerer vi av likningen at:
1. [tex]y\in D_f \Longrightarrow f(y)\in D_f[/tex]. Også at
2. [tex]\forall x,y\in D_f\; \Longrightarrow x-f(y)\in D_f[/tex].
Fra 1. har vi lov å sette [tex]x = f(y)\;\forall y \in D_f[/tex]. Fra 2. får vi da at [tex]f(y)-f(y) = 0 \in D_f[/tex]. Hurra!
Ser også at [tex]V_f = \{f(y) : y\in D_f\} \subseteq D_f[/tex].
Vi gjør som Hoksalon over: La [tex]x = f(y)[/tex]:
[tex]f(0) = f(x) + xf(x) +f(x) - 1 \;\forall x \in V_f \subseteq D_f[/tex].
Men siden den eneste verdien i definisjonsmengden vi vet om er 0, så prøver vi med x=0. Men har vi lov til dette, siden det da er snakk om å si at [tex]\exists y\in D_f[/tex] slik at [tex]f(y) = 0[/tex]? Her er jeg foreløpig stuck.
0 er med i definisjonsmengden, ja. Problemet var at det spesifikke uttrykket for f(x) som Hoksalon hadde kommet fram kun gjaldt på restriksjonen [tex]Im(f) \subseteq Def(f)[/tex]. Derfor kan man ikke bare sette x=0 i uttrykket når man skal finne a.Emomilol wrote:EDIT: jeg tolket Im(f) som definisjonsmengden til f...
Midt i eksamenstiden! :Pplutarco wrote:Er det ingen som får til denne?
Er det ikke implisert i oppgaveteksten at 0 er med i definisjonsmengden til f?Skal dette da tolkes som [tex]\forall x,y\in D_f \subseteq \mathbb{R}[/tex]?plutarco wrote:f(x) [...] for alle x,y i [tex]\mathbb{R}[/tex]
-
Fibonacci92
- Abel
- Posts: 665
- Joined: 27/01-2007 22:55
For å beregne a:
[tex]f(x-f(y)) = f(f(y) + xf(y) + f(x) - 1[/tex]
Setter x = 0.
[tex]f(-f(y)) = f(f(y) + f(0) - 1[/tex]
Men [tex]f(f(y))[/tex] og[tex]f(-f(y))[/tex] kan evalueres siden [tex]f(y) \in Im(f)[/tex] og vi har at [tex]f(x) = \frac{-x^2+a+1}{2}[/tex] for alle [tex] x \in Im(f)[/tex]. Vi ser at [tex]f(f(y)) = f(-f(y))[/tex] og dermed at [tex]f(0) = 1[/tex]
[tex]f(x-f(y)) = f(f(y) + xf(y) + f(x) - 1[/tex]
Setter x = 0.
[tex]f(-f(y)) = f(f(y) + f(0) - 1[/tex]
Men [tex]f(f(y))[/tex] og[tex]f(-f(y))[/tex] kan evalueres siden [tex]f(y) \in Im(f)[/tex] og vi har at [tex]f(x) = \frac{-x^2+a+1}{2}[/tex] for alle [tex] x \in Im(f)[/tex]. Vi ser at [tex]f(f(y)) = f(-f(y))[/tex] og dermed at [tex]f(0) = 1[/tex]
-
Fibonacci92
- Abel
- Posts: 665
- Joined: 27/01-2007 22:55
Her er det mange feilantagelser ute og går ja!:)
Det er vel i grunnen bare standard notasjon fra basic mengdelære. Det var ikke meningen å forvirre med unødvendig notasjon.Hoksalon wrote:Er det et fag/bok som tar for seg notasjonen som blir brukt her om funksjonalligninger? Alt er ganske nytt for meg. Selv om jeg har en liten forståelse av hva tegnene betyr, har jeg aldri benyttet de så hyppig som dere gjør her.
[tex]f:U\to V[/tex] betyr bare at funksjonen f har domene U og kodomene V
Im(f) er verdimengden til f
Def(f) er definisjonsmengden til f = domenet til f