Finn ved regning det siste sifferet i [tex]77777^{77777}[/tex]
Og mer tallteori
Moderators: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Jeg får ikke til Plutarco's tallteori-nøtt på stående fot, så jeg slenger inn en annen, litt lettere.
Finn ved regning det siste sifferet i [tex]77777^{77777}[/tex]
Finn ved regning det siste sifferet i [tex]77777^{77777}[/tex]
[tex]77777 \equiv 7 \bmod 10[/tex]
[tex]77777^{77777} \equiv 7^7 \bmod 10[/tex]
[tex]49 \cdot 49 \cdot 49 \cdot 7 \equiv 9 \cdot 9 \cdot 9 \cdot 7 \equiv 81 \cdot 63 \equiv 1 \cdot 3 \equiv 3 \bmod 10[/tex]
Personlig er jeg usikker på om det andre leddet mitt er korrekt.
[tex]77777^{77777} \equiv 7^7 \bmod 10[/tex]
[tex]49 \cdot 49 \cdot 49 \cdot 7 \equiv 9 \cdot 9 \cdot 9 \cdot 7 \equiv 81 \cdot 63 \equiv 1 \cdot 3 \equiv 3 \bmod 10[/tex]
Personlig er jeg usikker på om det andre leddet mitt er korrekt.
-
Vektormannen
- Euler
- Posts: 5889
- Joined: 26/09-2007 19:35
- Location: Trondheim
- Contact:
Det ser korrekt ut.
Elektronikk @ NTNU | nesizer
Er nok ikke korrekt. Wolfram alpha sier at [tex]77777^{77777} \equiv 7 \pmod {10}[/tex].
Steget som ikke er riktig er det andre, som du selv mistenkte. Det er ingen kongruensregel som sier at dersom [tex]a \equiv b \pmod {n}[/tex], så er [tex]m^a \equiv m^b \pmod {n}[/tex].
Se for eksempel på [tex]1 \equiv 6 \pmod{5}[/tex], men [tex]2^6 = 64 \equiv 4 \not\equiv 2 = 2^1 \pmod {5}[/tex]
Steget som ikke er riktig er det andre, som du selv mistenkte. Det er ingen kongruensregel som sier at dersom [tex]a \equiv b \pmod {n}[/tex], så er [tex]m^a \equiv m^b \pmod {n}[/tex].
Se for eksempel på [tex]1 \equiv 6 \pmod{5}[/tex], men [tex]2^6 = 64 \equiv 4 \not\equiv 2 = 2^1 \pmod {5}[/tex]
Bachelor i matematiske fag NTNU - tredje år.
Du har kanskje feiltolka potensregelen for kongruens. Det er kun grunntallet du kan forkorte på den måten, ikke eksponenten.Hoksalon wrote:[tex]77777 \equiv 7 \bmod 10[/tex]
[tex]77777^{77777} \equiv 7^7 \bmod 10[/tex]
[tex]49 \cdot 49 \cdot 49 \cdot 7 \equiv 9 \cdot 9 \cdot 9 \cdot 7 \equiv 81 \cdot 63 \equiv 1 \cdot 3 \equiv 3 \bmod 10[/tex]
Personlig er jeg usikker på om det andre leddet mitt er korrekt.
En luring er å fortsette med [tex]7^{77777} = (7^7)^{11111}[/tex]
Ja, det gjør det litt annerledes:
Etter litt strev, vet vi at
[tex]77777 = [/tex]
1,2,4,8,16,32,64,128,256,512,1024,2048,4096,8092,16184,32368, 64736
77777 = 64736 + 8192 + 2048 + 1024 + 512 + 256 + 128 + 64 + 16 + 1
Vi har altså at:
[tex]7^{77777} = 7^{64736} \cdot 7^{8192} \cdot 7^{2048} \cdot 7^{1024} \cdot 7^{512} \cdot 7^{128} \cdot 7^{64} \cdot 7^{16} \cdot 7^{1}[/tex]
[tex]7^1 \equiv 7 \bmod 10[/tex]
[tex]7^{16} \equiv 1 \bmod 10[/tex]
[tex]7^{32} \equiv 1 \bmod 10 [/tex]
...
...
[tex]7^{64736} \equiv 1 \bmod 10[/tex]
Når alle disse faktorene multipliseres sammen, får vi selvfølgelig at resten blir 7.
Etter litt strev, vet vi at
[tex]77777 = [/tex]
1,2,4,8,16,32,64,128,256,512,1024,2048,4096,8092,16184,32368, 64736
77777 = 64736 + 8192 + 2048 + 1024 + 512 + 256 + 128 + 64 + 16 + 1
Vi har altså at:
[tex]7^{77777} = 7^{64736} \cdot 7^{8192} \cdot 7^{2048} \cdot 7^{1024} \cdot 7^{512} \cdot 7^{128} \cdot 7^{64} \cdot 7^{16} \cdot 7^{1}[/tex]
[tex]7^1 \equiv 7 \bmod 10[/tex]
[tex]7^{16} \equiv 1 \bmod 10[/tex]
[tex]7^{32} \equiv 1 \bmod 10 [/tex]
...
...
[tex]7^{64736} \equiv 1 \bmod 10[/tex]
Når alle disse faktorene multipliseres sammen, får vi selvfølgelig at resten blir 7.
-
Brahmagupta
- Guru
- Posts: 628
- Joined: 06/08-2011 01:56
Det ser riktig ut, men kanskje litt tungvint.
[tex]77777^{77777}\equiv 7^{77777} mod 10[/tex]
Siden 7 i n'te kun kan ta et endelig antall verdier mod 10 må det var en gjentakende sekvens.
[tex]7^1 \equiv 7 [/tex]
[tex]7^2 \equiv 9[/tex]
[tex]7^3 \equiv 3[/tex]
[tex]7^4 \equiv 1[/tex]
Det vil si at [tex]7^n\equiv 7^{n mod 4} mod 10[/tex]
Siden 77777 har rest 1 ved divisjon på 4 er siste siffer 7.
[tex]77777^{77777}\equiv 7^{77777} mod 10[/tex]
Siden 7 i n'te kun kan ta et endelig antall verdier mod 10 må det var en gjentakende sekvens.
[tex]7^1 \equiv 7 [/tex]
[tex]7^2 \equiv 9[/tex]
[tex]7^3 \equiv 3[/tex]
[tex]7^4 \equiv 1[/tex]
Det vil si at [tex]7^n\equiv 7^{n mod 4} mod 10[/tex]
Siden 77777 har rest 1 ved divisjon på 4 er siste siffer 7.
Ok, siden vi har oppfølger så slenger jeg like gjerne inn egen løsning på den jeg spytta.
[tex]77777^{77777} \\ \equiv (7^7)^{11111} \\ \equiv 3^{11111} \\ \equiv 3^{4\cdot2777+3} \\ \equiv 3^{4\cdot2777}\cdot3^3 \\ \equiv (3^4)^{2777}\cdot 3^3 \\ \equiv 1^{2777} \cdot 3^3 \\ \equiv 1\cdot 7 \\ \equiv 7 (mod 10)[/tex]
Tok med alle steg i mellomregninga nå, men det får bare være.
[tex]77777^{77777} \\ \equiv (7^7)^{11111} \\ \equiv 3^{11111} \\ \equiv 3^{4\cdot2777+3} \\ \equiv 3^{4\cdot2777}\cdot3^3 \\ \equiv (3^4)^{2777}\cdot 3^3 \\ \equiv 1^{2777} \cdot 3^3 \\ \equiv 1\cdot 7 \\ \equiv 7 (mod 10)[/tex]
Tok med alle steg i mellomregninga nå, men det får bare være.