Er det noen der ute som synes statistikk er gøy, for jeg trnger hjelp til en oppgave.
Tre personer blir bedt om å velge et tall fra mengden {0, 1, 2,....,10}. Den enkeltes
valg antas uavhengig av de andres, og det velges med tilbakelegging.
(c) Anta at sannsynligheten for at tallet 7 velges er dobbelt så stor som for hvert enkelt av de øvrige ti tallene. Bestem nå sannsynligheten for at minst to av personene velger samme tall.
Statistikk
Moderators: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Det du i alle fall kan begynne med er å merke at sannsynet for at minst to skal velge same tal er lik 1 minus sannsynligheten for at ingen velger same tal (er du med på det?)
Ut i frå opplysningane i teksten har vi at sannsynligheten for å velge 7 er [tex]\frac{1}{6}[/tex], mens sannsynligheten for å velge dei øvrige tala er [tex]\frac{1}{12}[/tex].
Årsak:
Dersom sannsynet for å velge eit av tala ulik sju er x veit vi at sannsynet for å velge 7 er 2x, og totalt sett skal vi få 1 dersom vi adderer opp alle sannsyna for alle moglegheitene dvs. vi får likninga 10x+2x=1 som gir [tex]x=\frac{1}{12}[/tex] (og dermed [tex]2x=\frac{1}{6}[/tex]).
(eg forstod i alle fall oppgåva slik at sannsynet for å velge dei andre tala alle var like?)
Vi vil altså på bakgrunn av desse opplysningane rekne ut:
[tex]P(\text{minst to personar velger same tal})=1-P(\text{ingen velger same tal})[/tex]
Dersom vi lar A betegne hendelsen "ingen velger same tal" må vi altså først rekne ut [tex]P(A)[/tex], og her trur eg det kan vere lurt å dele inn i to undertilfeller:
1) dersom 1 av dei 3 velger talet 7
2) dersom ingen av dei velger talet 7
(Kanskje vi kan bruke loven om total sannsynlighet her?)
Eg rekker desverre ikkje svare meir akkurat nå, for er litt i farta.
Ut i frå opplysningane i teksten har vi at sannsynligheten for å velge 7 er [tex]\frac{1}{6}[/tex], mens sannsynligheten for å velge dei øvrige tala er [tex]\frac{1}{12}[/tex].
Årsak:
Dersom sannsynet for å velge eit av tala ulik sju er x veit vi at sannsynet for å velge 7 er 2x, og totalt sett skal vi få 1 dersom vi adderer opp alle sannsyna for alle moglegheitene dvs. vi får likninga 10x+2x=1 som gir [tex]x=\frac{1}{12}[/tex] (og dermed [tex]2x=\frac{1}{6}[/tex]).
(eg forstod i alle fall oppgåva slik at sannsynet for å velge dei andre tala alle var like?)
Vi vil altså på bakgrunn av desse opplysningane rekne ut:
[tex]P(\text{minst to personar velger same tal})=1-P(\text{ingen velger same tal})[/tex]
Dersom vi lar A betegne hendelsen "ingen velger same tal" må vi altså først rekne ut [tex]P(A)[/tex], og her trur eg det kan vere lurt å dele inn i to undertilfeller:
1) dersom 1 av dei 3 velger talet 7
2) dersom ingen av dei velger talet 7
(Kanskje vi kan bruke loven om total sannsynlighet her?)
Eg rekker desverre ikkje svare meir akkurat nå, for er litt i farta.
"There are three kinds of lies: lies, damned lies, and statistics"
Det er lenge sidan eg har holdt på med slike ting, men kanskje vi kan tenke som følger (finst sikkert andre måter også).
Dersom vi lar A vere hendinga "ingen velger like tal" kan dette skje på to vis: enten så vil ingen av dei velge talet 7 eller så vil nøyaktig 1 av dei gjere det (i tillegg til at dei velger ulike tal).
La B vere hendinga "ingen velger talet 7".
La C vere hendinga "nøyaktig 1 velger talet 7"
Då har vi at:
[tex]A\cap{B}[/tex] og [tex]A\cap{C}[/tex] er disjunkte hendingar som til saman utgjer A. Ergo fylgjer det at:
[tex]P(A)=P(A\cap{B})+P(A\cap{C})=P(A|B)\cdot{P(B)}+P(A|C)\cdot{P(C)}[/tex]
La oss først rekne ut P(B) og P(C). Her kan vi betrakte det om ein person velger 7 eller ikkje som eit binomisk forsøk med sannsyn lik ein sjettedel (pga. uavhengighet etc.). Altså får vi:
[tex]P(B)=P(\text{ingen velger talet 7})=(\frac{5}{6})^3[/tex]
[tex]P(C)=P(\text{noeyaktig 1 velger talet 7})={3\choose 1}\cdot\frac{1}{6}\cdot(\frac{5}{6})^2[/tex]
Videre har vi at
[tex]P(A|B)=P(\text{ingen velger likt gitt at vi veit ingen velger 7})[/tex]
dvs.
[tex]P(A|B)=\frac{10\cdot{9}\cdot{8}}{10^3}=0.72[/tex]
(her bruker vi at det er like stor sjanse å gjette kvar av tala utanom 7)
[tex]P(A|C)=P(\text{ingen velger likt gitt at vi veit noeyaktig ein av dei velger 7)[/tex]
dvs.
[tex]P(A|C)=\frac{10\cdot{9}}{10^2}=0.9[/tex]
Til sjuande og sist får vi altså:
[tex]P(A)=0.72\cdot{\frac{125}{216}}+0.9\cdot{\frac{75}{216}}\approx{0.7292}[/tex]
dvs.
[tex]1-P(A)\approx{0.271}[/tex]
Sannsynet for at minst to av dei velger same tal er altså ca. 27 prosent.
Har du tilgang til fasit, og er i så fall dette riktig svar?
Dersom vi lar A vere hendinga "ingen velger like tal" kan dette skje på to vis: enten så vil ingen av dei velge talet 7 eller så vil nøyaktig 1 av dei gjere det (i tillegg til at dei velger ulike tal).
La B vere hendinga "ingen velger talet 7".
La C vere hendinga "nøyaktig 1 velger talet 7"
Då har vi at:
[tex]A\cap{B}[/tex] og [tex]A\cap{C}[/tex] er disjunkte hendingar som til saman utgjer A. Ergo fylgjer det at:
[tex]P(A)=P(A\cap{B})+P(A\cap{C})=P(A|B)\cdot{P(B)}+P(A|C)\cdot{P(C)}[/tex]
La oss først rekne ut P(B) og P(C). Her kan vi betrakte det om ein person velger 7 eller ikkje som eit binomisk forsøk med sannsyn lik ein sjettedel (pga. uavhengighet etc.). Altså får vi:
[tex]P(B)=P(\text{ingen velger talet 7})=(\frac{5}{6})^3[/tex]
[tex]P(C)=P(\text{noeyaktig 1 velger talet 7})={3\choose 1}\cdot\frac{1}{6}\cdot(\frac{5}{6})^2[/tex]
Videre har vi at
[tex]P(A|B)=P(\text{ingen velger likt gitt at vi veit ingen velger 7})[/tex]
dvs.
[tex]P(A|B)=\frac{10\cdot{9}\cdot{8}}{10^3}=0.72[/tex]
(her bruker vi at det er like stor sjanse å gjette kvar av tala utanom 7)
[tex]P(A|C)=P(\text{ingen velger likt gitt at vi veit noeyaktig ein av dei velger 7)[/tex]
dvs.
[tex]P(A|C)=\frac{10\cdot{9}}{10^2}=0.9[/tex]
Til sjuande og sist får vi altså:
[tex]P(A)=0.72\cdot{\frac{125}{216}}+0.9\cdot{\frac{75}{216}}\approx{0.7292}[/tex]
dvs.
[tex]1-P(A)\approx{0.271}[/tex]
Sannsynet for at minst to av dei velger same tal er altså ca. 27 prosent.
Har du tilgang til fasit, og er i så fall dette riktig svar?
"There are three kinds of lies: lies, damned lies, and statistics"
-
spelevinken
- Fibonacci
- Posts: 4
- Joined: 28/11-2012 15:19
Hei, jeg tror vi er på samme prosjekt. Har du svaret på de to siste oppgavene`?Husmor wrote:Hei
Har ikke fasit, siden det er et delspørsmål i ett prosjekt.
Men sier tusen takk, det gikk opp et lys nå.