For positive reelle tall x og positive heltall n, vis at
[tex](1+x)(1+x^2)(1+x^3)\cdots (1+x^n)\geq (1+x^{\frac{n+1}{2}})^n[/tex]
Ulikhet
Moderators: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
-
Brahmagupta
- Guru
- Posts: 628
- Joined: 06/08-2011 01:56
Viser først at [tex](1+x^k)(1+x^{n+1-k})\geq (1+x^{\frac{n+1}2})^2[/tex]
Ved å gange ut og stryke like ledd får man:
[tex]x^k + x^{n+1-k} \geq 2x^{\frac{n+1}2}[/tex]
Dette følger fra AM-GM:
[tex]\frac{x^k + x^{n+1-k}}2 \geq sqrt{x^kx^{n+1-k}} = x^{\frac{n+1}2} [/tex]
Ved å gange sammen denne ulikheten for k verdier opp til halvparten av n får man ulikheten for partallige n.
Hvis n er oddetall må også [tex](1+x^{\frac{n+1}2})[/tex] ganges inn på begge sider.
Ved å gange ut og stryke like ledd får man:
[tex]x^k + x^{n+1-k} \geq 2x^{\frac{n+1}2}[/tex]
Dette følger fra AM-GM:
[tex]\frac{x^k + x^{n+1-k}}2 \geq sqrt{x^kx^{n+1-k}} = x^{\frac{n+1}2} [/tex]
Ved å gange sammen denne ulikheten for k verdier opp til halvparten av n får man ulikheten for partallige n.
Hvis n er oddetall må også [tex](1+x^{\frac{n+1}2})[/tex] ganges inn på begge sider.
-
Brahmagupta
- Guru
- Posts: 628
- Joined: 06/08-2011 01:56
Fint om noen ser over løsningen, det gikk veldig fort.
Men i alle tilfeller legger jeg ved en ny ulikhet
Vis at for all positive x,y,z er:
[tex]S =\sum_{sym} (\frac{x+y}{x+y+z})^{\frac12} \leq 6^{\frac12}[/tex]
Men i alle tilfeller legger jeg ved en ny ulikhet
Vis at for all positive x,y,z er:
[tex]S =\sum_{sym} (\frac{x+y}{x+y+z})^{\frac12} \leq 6^{\frac12}[/tex]
La [tex]f(x)=x^{\frac12}[/tex]. Denne er konkav når x er positiv.
Jensens ulikhet gir da at
[tex]f(\frac{x+y}{x+y+z})+f(\frac{x+z}{x+y+z})+f(\frac{y+z}{x+y+z})\leq 3f(\frac13(\frac{x+y}{x+y+z}+\frac{x+z}{x+y+z}+ \frac{y+z}{x+y+z})) = 3\sqrt{\frac{2}{3}}=\sqrt{6}[/tex]
Jensens ulikhet gir da at
[tex]f(\frac{x+y}{x+y+z})+f(\frac{x+z}{x+y+z})+f(\frac{y+z}{x+y+z})\leq 3f(\frac13(\frac{x+y}{x+y+z}+\frac{x+z}{x+y+z}+ \frac{y+z}{x+y+z})) = 3\sqrt{\frac{2}{3}}=\sqrt{6}[/tex]